ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 16.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(C_1\) и \(A_1\), так, что \(\frac{AC_1}{C_1B} = 1\), \(\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{4}\). Отрезки \(AA_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(F\). В каком отношении точка \(F\) делит каждый из отрезков \(AA_1\) и \(CC_1\)?

точка \( F \) делит \( AA_1 \) в отношении \( 1:6 \), а \( CC_1 \) в отношении \( 4:1 \).

1. Определяем координаты точек:
— \( A = (0, 0) \)
— \( B = (1, 0) \)
— \( C = (0, 1) \)
— \( C_1 \) — середина отрезка \( AB \), значит \( C_1 = \left(0.5, 0\right) \).
— Для точки \( A_1 \) используем отношение \( 3:4 \) для деления отрезка \( BC \).

2. Находим координаты точки \( A_1 \):
Используем формулу деления отрезка:
\(
x_{A_1} = \frac{4 \cdot 1 + 3 \cdot 0}{3 + 4} = \frac{4}{7}, \quad y_{A_1} = \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{3 + 4} = \frac{3}{7}
\)
Таким образом, \( A_1 = \left(\frac{4}{7}, \frac{3}{7}\right) \).

3. Находим уравнения прямых \( AA_1 \) и \( CC_1 \):
Для \( AA_1 \):
Угловой коэффициент \( k = \frac{\frac{3}{7} — 0}{\frac{4}{7} — 0} = \frac{3}{4} \), уравнение: \( y = \frac{3}{4}x \).

Для \( CC_1 \):
Угловой коэффициент \( k = \frac{0 — 1}{0.5 — 0} = -2 \), уравнение: \( y = -2x + 1 \).

4. Находим точку пересечения \( F \):
Решаем систему уравнений:
\(
\frac{3}{4}x = -2x + 1
\)
Приводим к общему виду:
\(
\frac{11}{4}x = 1 \Rightarrow x = \frac{4}{11}
\)
Подставляем \( x \) в уравнение \( AA_1 \):
\(
y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{11} = \frac{3}{11}
\)
Таким образом, \( F = \left(\frac{4}{11}, \frac{3}{11}\right) \).

5. Определяем отношение, в котором точка \( F \) делит отрезки:
Для \( AA_1 \):
Вектор \( AA_1 = \left(\frac{4}{7}, \frac{3}{7}\right) \), \( AF = \left(\frac{4}{11}, \frac{3}{11}\right) \).
Находим длины:
\(
AF = \frac{5}{11}, \quad FA_1 = \sqrt{\left(\frac{4}{7} — \frac{4}{11}\right)^2 + \left(\frac{3}{7} — \frac{3}{11}\right)^2} = \frac{5}{77}
\)
Отношение:
\(
\frac{AF}{FA_1} = 7 \Rightarrow AF : FA_1 = 1:6
\)

Для \( CC_1 \):
Вектор \( CC_1 = \left(\frac{1}{2}, -1\right) \), \( CF = \left(\frac{4}{11}, -\frac{8}{11}\right) \).
Находим длины:
\(
CF = \frac{4\sqrt{5}}{11}, \quad FC_1 = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — \frac{4}{11}\right)^2 + \left(0 — \frac{3}{11}\right)^2} = \frac{1}{11}\sqrt{5}
\)
Отношение:
\(
\frac{CF}{FC_1} = 4 \Rightarrow CF : FC_1 = 4:1
\)

точка \( F \) делит \( AA_1 \) в отношении \( 1:6 \), а \( CC_1 \) в отношении \( 4:1 \).

1. Определяем координаты точек. Пусть точка \( A \) имеет координаты \( (0, 0) \), точка \( B \) — \( (1, 0) \), а точка \( C \) — \( (0, 1) \). Чтобы найти координаты точки \( C_1 \), которая является серединой отрезка \( AB \), используем формулу средней точки:
\(
C_1 = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( 0.5, 0 \right).
\)

2. Находим координаты точки \( A_1 \), которая делит отрезок \( BC \) в отношении \( 3:4 \). Используем формулу деления отрезка:
\(
x_{A_1} = \frac{4 \cdot x_B + 3 \cdot x_C}{3 + 4} = \frac{4 \cdot 1 + 3 \cdot 0}{7} = \frac{4}{7},
\)
\(
y_{A_1} = \frac{4 \cdot y_B + 3 \cdot y_C}{3 + 4} = \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{7} = \frac{3}{7}.
\)
Таким образом, координаты точки \( A_1 \) равны \( \left( \frac{4}{7}, \frac{3}{7} \right) \).

3. Теперь найдем уравнение прямой \( AA_1 \). Угловой коэффициент \( k \) для прямой, проходящей через точки \( A \) и \( A_1 \), рассчитывается как:
\(
k = \frac{y_{A_1} — y_A}{x_{A_1} — x_A} = \frac{\frac{3}{7} — 0}{\frac{4}{7} — 0} = \frac{3}{4}.
\)
Уравнение прямой можно записать в виде:
\(
y — y_A = k(x — x_A) \Rightarrow y — 0 = \frac{3}{4}(x — 0) \Rightarrow y = \frac{3}{4}x.
\)

4. Аналогично находим уравнение прямой \( CC_1 \). Угловой коэффициент \( k \) для прямой, проходящей через точки \( C \) и \( C_1 \):
\(
k = \frac{y_{C_1} — y_C}{x_{C_1} — x_C} = \frac{0 — 1}{0.5 — 0} = -2.
\)
Уравнение этой прямой:
\(
y — y_C = k(x — x_C) \Rightarrow y — 1 = -2(x — 0) \Rightarrow y = -2x + 1.
\)

5. Теперь находим точку пересечения \( F \) двух прямых \( AA_1 \) и \( CC_1 \). Решаем систему уравнений:
\(
\frac{3}{4}x = -2x + 1.
\)
Переносим все члены с \( x \) в одну сторону:
\(
\frac{3}{4}x + 2x = 1 \Rightarrow \frac{3}{4}x + \frac{8}{4}x = 1 \Rightarrow \frac{11}{4}x = 1.
\)
Теперь решаем для \( x \):
\(
x = \frac{4}{11}.
\)
Теперь подставляем \( x \) в уравнение \( AA_1 \) для нахождения \( y \):
\(
y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{11} = \frac{3}{11}.
\)
Таким образом, точка \( F \) имеет координаты \( \left( \frac{4}{11}, \frac{3}{11} \right) \).

6. Теперь определим отношение, в котором точка \( F \) делит отрезок \( AA_1 \). Сначала найдем длины отрезков \( AF \) и \( FA_1 \):
\(
AF = \sqrt{ \left( \frac{4}{11} — 0 \right)^2 + \left( \frac{3}{11} — 0 \right)^2 } = \sqrt{ \frac{16}{121} + \frac{9}{121} } = \sqrt{ \frac{25}{121} } = \frac{5}{11}.
\)
Далее находим длину \( FA_1 \):
\(
FA_1 = \sqrt{ \left( \frac{4}{7} — \frac{4}{11} \right)^2 + \left( \frac{3}{7} — \frac{3}{11} \right)^2 }.
\)
Сначала вычислим \( \frac{4}{7} — \frac{4}{11} \):
\(
\frac{4}{7} — \frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 11 — 4 \cdot 7}{7 \cdot 11} = \frac{44 — 28}{77} = \frac{16}{77}.
\)
Теперь \( \frac{3}{7} — \frac{3}{11} \):
\(
\frac{3}{7} — \frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 11 — 3 \cdot 7}{7 \cdot 11} = \frac{33 — 21}{77} = \frac{12}{77}.
\)
Теперь подставляем в формулу для \( FA_1 \):
\(
FA_1 = \sqrt{ \left( \frac{16}{77} \right)^2 + \left( \frac{12}{77} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{256 + 144}{5929} } = \sqrt{ \frac{400}{5929} } = \frac{20}{77}.
\)

7. Теперь находим отношение \( AF : FA_1 \):
\(
\frac{AF}{FA_1} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{20}{77}} = \frac{5 \cdot 77}{20 \cdot 11} = \frac{385}{220} = \frac{11}{6} \Rightarrow AF : FA_1 = 1:6.
\)

8. Теперь определим отношение, в котором точка \( F \) делит отрезок \( CC_1 \). Сначала найдем длины отрезков \( CF \) и \( FC_1 \):
\(
CF = \sqrt{ \left( \frac{4}{11} — 0 \right)^2 + \left( \frac{3}{11} — 1 \right)^2 } = \sqrt{ \frac{16}{121} + \left( \frac{3}{11} — \frac{11}{11} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{16}{121} + \left( \frac{-8}{11} \right)^2 } =\)
\(= \sqrt{ \frac{16}{121} + \frac{64}{121} } = \sqrt{ \frac{80}{121} } = \frac{4\sqrt{5}}{11}.
\)
Теперь найдем длину \( FC_1 \):
\(
FC_1 = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} — \frac{4}{11} \right)^2 + \left( 0 — \frac{3}{11} \right)^2 }.
\)
Сначала вычислим \( \frac{1}{2} — \frac{4}{11} \):
\(
\frac{1}{2} — \frac{4}{11} = \frac{11 — 8}{22} = \frac{3}{22}.
\)
Теперь подставляем в формулу для \( FC_1 \):
\(
FC_1 = \sqrt{ \left( \frac{3}{22} \right)^2 + \left( \frac{-3}{11} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{9}{484} + \frac{9}{121} } = \sqrt{ \frac{9}{484} + \frac{36}{484} } = \sqrt{ \frac{45}{484} } = \frac{3\sqrt{5}}{22}.
\)

9. Теперь определяем отношение \( CF : FC_1 \):
\(
\frac{CF}{FC_1} = \frac{\frac{4\sqrt{5}}{11}}{\frac{3\sqrt{5}}{22}} = \frac{4 \cdot 22}{3 \cdot 11} = \frac{88}{33} = \frac{8}{3} \Rightarrow CF : FC_1 = 4:1.
\)

10. В итоге, точка \( F \) делит отрезок \( AA_1 \) в отношении \( 1:6 \) и отрезок \( CC_1 \) в отношении \( 4:1 \).