ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 16.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне \(AD\) и диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) отметили соответственно точки \(N\) и \(M\) так, что \(\frac{AN}{ND} = \frac{1}{5}\), \(AM = \frac{1}{4}AC\). Докажите, что точки \(N\), \(M\) и \(B\) лежат на одной прямой.

ΔACAB = 0
Тогда по теореме Менелая точки N, M и B лежат на одной прямой.

Доказательство:
1. Рассмотрим параллелограмм ABCD, на сторонах AD и AC которого отмечены точки N и M соответственно так, что AN = \(\frac{1}{2}\)AD и AM = \(\frac{1}{2}\)AC.
2. Докажем, что точки N, M и B лежат на одной прямой.
3. Так как ΔACAB = 0, то по теореме Менелая произведение отрезков, образованных точками N, M и B на сторонах параллелограмма, равно 1.
4. Запишем это равенство: \(\frac{AN}{ND} \cdot \frac{AM}{MC} \cdot \frac{AB}{BC} = 1\).
5. Подставляя AN = \(\frac{1}{2}\)AD, AM = \(\frac{1}{2}\)AC и AB = BC, получим: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1\).
6. Следовательно, точки N, M и B лежат на одной прямой.