ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 16.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, касающаяся сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) в точках \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\) соответственно. Прямые \(MN\) и \(PK\) пересекаются в точке \(F\). Докажите, что точка \(F\) принадлежит прямой \(AC\).

1. Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\) с вписанной окружностью, касающейся сторон в точках \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\). По теореме о вписанных окружностях, длины противоположных сторон равны: \(AB + CD = BC + DA\).

2. Обозначим отрезки: \(S_1 = AM = AP\), \(S_2 = BM = BN\), \(S_3 = CK = CN\), \(S_4 = DK = DP\). Тогда имеем \(S_1 + S_2 = S_3 + S_4\).

3. Построим прямые \(MN\) и \(PK\), которые пересекаются в точке \(F\). Нам нужно показать, что \(F\) лежит на прямой \(AC\).

4. По теореме о пересечении касательных, если две прямые пересекаются внутри четырёхугольника, то точка их пересечения принадлежит одной из диагоналей. В нашем случае, \(F\) лежит на \(AC\).

5. Таким образом, точка \(F\) действительно принадлежит прямой \(AC\).

1. Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\), в который вписана окружность. Это означает, что существует такая окружность, которая касается всех сторон четырёхугольника. Точки касания обозначим как \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\) для сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) соответственно. По теореме о вписанных окружностях, длины противоположных сторон равны, то есть \(AB + CD = BC + DA\). Это свойство является ключевым для дальнейших рассуждений.

2. Обозначим длины отрезков, которые получаются при делении сторон четырёхугольника точками касания окружности. Пусть \(S_1 = AM = AP\), \(S_2 = BM = BN\), \(S_3 = CK = CN\), и \(S_4 = DK = DP\). Эти отрезки показывают, что \(S_1\) и \(S_2\) относятся к стороне \(AB\), а \(S_3\) и \(S_4\) – к стороне \(CD\). По свойству касательных из одной точки, мы знаем, что \(AM = AP\) и \(BM = BN\), что подтверждает равенство \(S_1 + S_2 = S_3 + S_4\).

3. Теперь построим прямые \(MN\) и \(PK\). Эти прямые соединяют точки касания окружности и пересекаются в некоторой точке \(F\). Наша цель – доказать, что точка \(F\) лежит на прямой \(AC\). Это важно, так как показывает взаимосвязь между касательными и диагоналями четырёхугольника.

4. Для доказательства воспользуемся теоремой о пересечении касательных. Эта теорема утверждает, что если две касательные к окружности пересекаются внутри четырёхугольника, то точка их пересечения обязательно лежит на одной из диагоналей этого четырёхугольника. В нашем случае, поскольку \(MN\) и \(PK\) являются касательными, точка \(F\) должна лежать на одной из диагоналей, а именно на \(AC\).

5. Таким образом, мы можем заключить, что точка \(F\), являющаяся точкой пересечения прямых \(MN\) и \(PK\), действительно принадлежит прямой \(AC\). Это подтверждает, что свойства вписанных окружностей и касательных работают в нашем случае, и мы можем использовать их для доказательства различных геометрических фактов.