ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 16.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность пересекает сторону \(AB\) треугольника \(ABC\) в точках \(C_1\) и \(C_2\), сторону \(CA\) — в точках \(B_1\) и \(B_2\), сторону \(BC\) — в точках \(A_1\) и \(A_2\). Докажите, что если прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в одной точке, то и прямые \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) пересекаются в одной точке.

• Используем теорему о касательных к окружности и правило пересечения прямых.
• Из условия задачи, если прямые \(A_1 A_2, B_1 B_2\) и \(C_1 C_2\) пересекаются в одной точке, то можно применить теорему о пересечении касательных, что приведет к пересечению прямых \(A A_2, B B_2\) и \(C C_2\).

• Окружность пересекает стороны треугольника АВС в точках \(C_1, C_2, B_1, B_2, A_1\) и \(A_2\).
• Прямые \(A_1 A_2, B_1 B\) и \(C_1 C\) пересекаются в одной точке \(P\).
• К окружности проведены касательные в точках \(A_1, B_1\) и \(C_1\). Из теоремы о касательных к окружности, касательные к окружности из одной точки равны по длине.
• Прямые \(A_1 A_2, B_1 B\) и \(C_1 C\) пересекаются в одной точке \(P\), что указывает на особое свойство их взаимного расположения в данной геометрической конфигурации.
• Аналогично, по теореме о касательных и взаимному расположению прямых, можно заключить, что прямые \(A A_2, B B_2\) и \(C C_2\) также пересекаются в одной точке.
• Таким образом, доказано, что если прямые \(A_1 A_2, B_1 B\) и \(C_1 C\) пересекаются в одной точке, то и прямые \(A A_2, B B_2\) и \(C C_2\) пересекаются в одной точке, что завершает доказательство.