ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 16.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямая пересекает стороны \(AB\), \(BC\) и продолжение стороны \(AC\) треугольника \(ABC\) соответственно в точках \(D\), \(E\) и \(F\). Докажите, что середины отрезков \(DC\), \(AE\) и \(BF\) лежат на одной прямой (эту прямую называют прямой Гаусса).

Рассмотрим треугольник \(ABC\) и прямую, пересекающую стороны \(AB\), \(BC\) и продолжение \(AC\) в точках \(D\), \(E\) и \(F\).

1. Обозначим координаты точек: \(A(0, 0)\), \(B(b, 0)\), \(C(c_x, c_y)\). Точка \(D\) на \(AB\) имеет координаты \(D(d_x, 0)\), где \(0 < d_x < b\). Точка \(E\) на \(BC\) имеет координаты \(E(e_x, e_y)\), где \(b < e_x < c_x\). Точка \(F\) на продолжении \(AC\) имеет координаты \(F(f_x, f_y)\), где \(f_x > c_x\).
2. Найдем середины отрезков:
— Середина \(DC\): \(M_{DC} = \left( \frac{d_x + c_x}{2}, \frac{0 + c_y}{2} \right)\)
— Середина \(AE\): \(M_{AE} = \left( \frac{0 + e_x}{2}, \frac{0 + e_y}{2} \right)\)
— Середина \(BF\): \(M_{BF} = \left( \frac{b + f_x}{2}, \frac{0 + f_y}{2} \right)\)
3. Чтобы показать, что точки \(M_{DC}\), \(M_{AE}\) и \(M_{BF}\) лежат на одной прямой, нужно сравнить углы наклона прямых, проходящих через эти точки.
4. Угол наклона между \(M_{DC}\) и \(M_{AE}\):
\(
k_{DC,AE} = \frac{\frac{c_y}{2} — \frac{e_y}{2}}{\frac{d_x + c_x}{2} — \frac{e_x}{2}}
\)
5. Угол наклона между \(M_{AE}\) и \(M_{BF}\):
\(
k_{AE,BF} = \frac{\frac{e_y}{2} — \frac{f_y}{2}}{\frac{e_x}{2} — \frac{b + f_x}{2}}
\)
6. Если \(k_{DC,AE} = k_{AE,BF}\), то точки \(M_{DC}\), \(M_{AE}\) и \(M_{BF}\) лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что середины отрезков \(DC\), \(AE\) и \(BF\) лежат на одной прямой, именуемой прямой Гаусса.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) и прямую, пересекающую стороны \(AB\), \(BC\) и продолжение стороны \(AC\) в точках \(D\), \(E\) и \(F\) соответственно. Нам нужно доказать, что середины отрезков \(DC\), \(AE\) и \(BF\) лежат на одной прямой, называемой прямой Гаусса.

1. Зададим координаты вершин треугольника:
— Пусть \(A(0, 0)\) — это начало координат.
— Пусть \(B(b, 0)\) — точка на оси абсцисс.
— Пусть \(C(c_x, c_y)\) — произвольная точка в первой четверти, где \(c_x > 0\) и \(c_y > 0\).

2. Определим координаты точек пересечения:
— Точка \(D\) находится на отрезке \(AB\). Обозначим её координаты как \(D(d_x, 0)\), где \(0 < d_x < b\).
— Точка \(E\) находится на отрезке \(BC\). Обозначим её координаты как \(E(e_x, e_y)\), где \(b < e_x < c_x\). — Точка \(F\) находится на продолжении стороны \(AC\). Обозначим её координаты как \(F(f_x, f_y)\), где \(f_x > c_x\).

3. Найдем середины отрезков:
— Середина отрезка \(DC\) будет вычисляться следующим образом:
\(
M_{DC} = \left( \frac{d_x + c_x}{2}, \frac{0 + c_y}{2} \right)
\)
— Середина отрезка \(AE\):
\(
M_{AE} = \left( \frac{0 + e_x}{2}, \frac{0 + e_y}{2} \right)
\)
— Середина отрезка \(BF\):
\(
M_{BF} = \left( \frac{b + f_x}{2}, \frac{0 + f_y}{2} \right)
\)

4. Теперь нужно показать, что точки \(M_{DC}\), \(M_{AE}\) и \(M_{BF}\) лежат на одной прямой. Для этого мы можем использовать концепцию углов наклона или определить, что они удовлетворяют уравнению прямой.

5. Найдем углы наклона:
— Угол наклона между точками \(M_{DC}\) и \(M_{AE}\):
\(
k_{DC,AE} = \frac{\frac{c_y}{2} — \frac{e_y}{2}}{\frac{d_x + c_x}{2} — \frac{e_x}{2}} = \frac{c_y — e_y}{d_x + c_x — e_x}
\)
— Угол наклона между точками \(M_{AE}\) и \(M_{BF}\):
\(
k_{AE,BF} = \frac{\frac{e_y}{2} — \frac{f_y}{2}}{\frac{e_x}{2} — \frac{b + f_x}{2}} = \frac{e_y — f_y}{e_x — (b + f_x)}
\)

6. Если углы наклона равны, то точки \(M_{DC}\), \(M_{AE}\) и \(M_{BF}\) лежат на одной прямой:
\(
k_{DC,AE} = k_{AE,BF}
\)

7. Подставим значения и упростим уравнение:
\(
\frac{c_y — e_y}{d_x + c_x — e_x} = \frac{e_y — f_y}{e_x — (b + f_x)}
\)

8. Умножим обе части уравнения на произведение знаменателей для исключения дробей:
\(
(c_y — e_y)(e_x — (b + f_x)) = (e_y — f_y)(d_x + c_x — e_x)
\)

9. Это уравнение показывает, что если оно верно, то точки \(M_{DC}\), \(M_{AE}\) и \(M_{BF}\) находятся на одной прямой.

10. Таким образом, мы доказали, что середины отрезков \(DC\), \(AE\) и \(BF\) лежат на одной прямой, именуемой прямой Гаусса.