ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 16.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(CA\) треугольника \(ABC\) отметили точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) соответственно так, что прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\). Прямая, проходящая через точку \(O\) параллельно стороне \(AC\), пересекает отрезки \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Докажите, что \(OK = OM\).

Поскольку прямая, проходящая через точку O параллельно стороне AC, пересекает отрезки A1B1 и B1C в точках K и M соответственно, то по свойству параллельных прямых, треугольники AOK и AOM подобны. Следовательно, OK = OM.

Доказательство того, что OK = OM:
1) Рассмотрим треугольник ABC и точки A1, B1, C1, лежащие на его сторонах AB, BC и CA соответственно, такие что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O.
2) Проведем прямую, параллельную стороне AC и проходящую через точку O. Эта прямая пересекает отрезки A1B1 и B1C1 в точках K и M соответственно.
3) Согласно свойству параллельных прямых, треугольники AOK и AOM подобны, так как соответствующие стороны параллельны.
4) Из подобия треугольников AOK и AOM следует, что \(AO/AK = AO/AM\).
5) Таким образом, \(AK = AM\), то есть OK = OM.