ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 16.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Используя теорему Чевы, докажите, что:  

1) медианы треугольника пересекаются в одной точке;  

2) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Используя теорему Чевы, докажем, что:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Медианы делят стороны треугольника пополам, поэтому \(AF/FB=1\), \(BD/DC=1\), \(CE/EA=1\). Тогда по теореме Чевы: \(AF\cdot BD\cdot CE/FB\cdot DC\cdot EA=1\). Медианы пересекаются в одной точке (центроид).
2. Бисектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Для бисектрис аналогично: \(AF/FB=1\), \(BD/DC=1\), \(CE/EA=1\). Опять по теореме Чевы: \(AF\cdot BD\cdot CE/FB\cdot DC\cdot EA=1\). Бисектрисы пересекаются в одной точке (инцентр).

Используя теорему Чевы, докажем, что:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Бисектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство для медиан:
Медианы делят стороны треугольника пополам. Применяем теорему Чевы для медиан, где все отношения равны единице:
\(AF/FB=1\), \(BD/DC=1\), \(CE/EA=1\)
Тогда по теореме Чевы: \(AF\cdot BD\cdot CE/FB\cdot DC\cdot EA=1\)
Медианы пересекаются в одной точке (центроид).
Доказательство для бисектрис:
Для бисектрис аналогично. Отношения сторон, делимых бисектрисами, равны 1:
\(AF/FB=1\), \(BD/DC=1\), \(CE/EA=1\)
Опять по теореме Чевы:
\(AF\cdot BD\cdot CE/FB\cdot DC\cdot EA=1\)
Бисектрисы пересекаются в одной точке (инцентр).
Вывод:
Медианы и бисектрисы треугольника пересекаются в одной точке.