ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 17.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки \(O\) и \(J\) — соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника \(ABC\). Биссектрисы углов \(A\), \(B\) и \(C\) пересекают описанную окружность в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. Докажите, что прямая \(OJ\) содержит точку пересечения медиан треугольника \(A B_1 C_1\).

Точка О является центром описанной окружности треугольника ABC, а точка J — центром вписанной окружности. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1 соответственно. Чтобы доказать, что прямая ОJ содержит точку пересечения медиан треугольника A1B1C1, достаточно показать, что точка пересечения медиан лежит на прямой, проходящей через центры описанной и вписанной окружностей.

1. Треугольник АВС имеет описанную окружность с центром в точке О и вписанную окружность с центром в точке J. Это означает, что окружность, описанная вокруг треугольника, касается его сторон в точках А1, В1 и С1, а окружность, вписанная в треугольник, касается его сторон в точках А, В и С.

2. Биссектрисы углов А, В и С пересекают описанную окружность в точках А1, В1 и С1 соответственно. Биссектриса угла делит этот угол пополам, поэтому точки А1, В1 и С1 лежат на описанной окружности.

3. Медианы треугольника А1В1С1 пересекаются в некоторой точке. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника со средней точкой противоположной стороны. Медианы треугольника А1В1С1 обязательно пересекаются в одной точке.

4. Докажем, что точка пересечения медиан треугольника А1В1С1 лежит на прямой, проходящей через центры описанной и вписанной окружностей. Для этого рассмотрим треугольник OJA1. Так как OJ — диаметр описанной окружности, а А1 лежит на этой окружности, то прямая ОJ перпендикулярна медиане А1М треугольника А1В1С1. Аналогично, прямая ОJ перпендикулярна медианам B1N и С1Р. Следовательно, точка пересечения медиан треугольника А1В1С1 лежит на прямой ОJ.

5. Таким образом, точка пересечения медиан треугольника А1В1С1 лежит на прямой, проходящей через центры описанной и вписанной окружностей треугольника АВС.