ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 17.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка \(H\) — ортоцентр треугольника \(ABC\). Докажите, что прямые Эйлера треугольников \(ABC\), \(ABH\), \(BCH\) и \(CAH\) пересекаются в одной точке.

Прямые Эйлера треугольников ABC, ABH, BCH и CAH пересекаются в одной точке, так как они являются медианами треугольника. Согласно теореме Эйлера, медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности девяти точек.

1. Точка Н является ортоцентром треугольника ABC, то есть точкой пересечения высот треугольника. Высоты треугольника — это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны. Ортоцентр — это точка, в которой пересекаются эти три высоты. Ортоцентр делит каждую высоту на две части, одна из которых равна расстоянию от вершины до основания высоты, а другая — расстоянию от основания высоты до ортоцентра. Ортоцентр является важной особой точкой треугольника, так как он обладает множеством интересных геометрических свойств и связан с другими особыми точками треугольника.

2. Прямые Эйлера — это медианы треугольника, то есть прямые, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Медианы делят треугольник на две равные части и пересекаются в одной точке, которая находится на две трети длины медианы, отсчитываемой от вершины. Эта точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника и обладает важными свойствами, такими как равенство расстояний от этой точки до вершин треугольника.

3. Согласно теореме Эйлера, медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности девяти точек. Эта окружность проходит через девять важных точек треугольника: вершины, основания высот и середины сторон. Центр окружности девяти точек находится на две трети длины медианы, отсчитываемой от вершины, и является важной особой точкой треугольника.

4. Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через девять важных точек треугольника: вершины, основания высот и середины сторон. Она является концентрической по отношению к описанной окружности треугольника и имеет радиус, равный половине радиуса описанной окружности. Окружность девяти точек обладает множеством интересных свойств и связана с другими особыми точками треугольника.

5. Таким образом, прямые Эйлера треугольников ABC, ABH, BCH и CAN пересекаются в одной точке, которая является центром окружности девяти точек. Эта точка является важной особой точкой треугольника и обладает многими интересными геометрическими свойствами. Она связана с другими особыми точками, такими как ортоцентр и центр тяжести, и играет ключевую роль в геометрии треугольника.