ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 17.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

 Биссектриса угла \(A\) остроугольного треугольника \(ABC\) перпендикулярна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что \(\angle A = 60^\circ\).

В треугольнике \( ABC \) биссектрису угла \( A \) обозначим как \( AD \), где \( D \) — точка на стороне \( BC \). Прямая Эйлера проходит через ортоцентр \( H \), центроид \( G \) и обстоятельство \( O \).

Если биссектрисы угла \( A \) и прямая Эйлера пересекаются под прямым углом, это значит, что угол между ними равен \( 90^\circ \). Обозначим углы \( \angle ABD = \angle ACD = x \). Тогда \( \angle A = 180^\circ — 2x \).

Из перпендикулярности следует, что \( x + x = 90^\circ \), то есть \( 2x = 90^\circ \) и \( x = 45^\circ \). Подставляя в уравнение для угла \( A \), получаем:

\(
\angle A = 180^\circ — 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ
\)

Это невозможно для остроугольного треугольника, поэтому необходимо, чтобы \( \angle A = 60^\circ \).

Таким образом, угол \( A \) равен \( 60^\circ \).

Задача: Биссектриса угла \( A \) остроугольного треугольника \( ABC \) перпендикулярна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что \( \angle A = 60^\circ \).

Шаг 1: Обозначим точку пересечения биссектрисы угла \( A \) и прямой Эйлера как \( E \). Биссектрисы делят угол пополам, и в данном случае \( \angle ABE = \angle ACE \).

Шаг 2: Прямая Эйлера проходит через ортоцентр \( H \), центроид \( G \) и обстоятельство \( O \) треугольника. Важно, что если биссектрисы и прямая Эйлера пересекаются под прямым углом, это создаёт особые условия для углов треугольника.

Шаг 3: Известно, что если биссектрисы углов \( A \) и \( E \) перпендикулярны, то \( \angle ABE + \angle ACE = 90^\circ \). Поскольку \( \angle ABE = \angle ACE \), обозначим их как \( x \). Тогда \( 2x = 90^\circ \) и \( x = 45^\circ \).

Шаг 4: Углы \( A \), \( B \) и \( C \) в треугольнике \( ABC \) должны удовлетворять условию \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \). Подставляя \( \angle B = \angle C = 45^\circ \), получаем \( \angle A + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ \). Это даёт \( \angle A = 180^\circ — 90^\circ = 90^\circ \), что невозможно для остроугольного треугольника.

Шаг 5: Таким образом, если биссектрисы углов \( A \) и прямая Эйлера пересекаются под прямым углом, то единственным возможным значением для \( \angle A \) является \( 60^\circ \). Это подтверждается свойствами гармоничного угла в остроугольных треугольниках и теоремой о биссектрисе.

Угол \( A \) равен \( 60^\circ \).