ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 17.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектриса угла \(A\) тупоугольного треугольника \(ABC\) параллельна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что \(\angle A = 120^\circ\).

1. Пусть треугольник \( ABC \) прямоугольный, с углом \( C = 90^\circ \). Угол \( A \) обозначим как \( \angle A \).

2. Биссектрису угла \( A \) обозначим \( AD \), где \( D \) — точка на стороне \( BC \). Биссектрисы делят углы пополам, значит \( \angle BAD = \alpha \) и \( \angle CAD = \alpha \), поэтому \( \angle BAC = 2\alpha \).

3. Прямая Эйлера проходит через ортоцентр \( H \), центроид \( G \) и центр окружности девяти точек \( N \). В прямоугольном треугольнике \( C \) является ортоцентром.

4. Угол между биссектрисой \( AD \) и прямой Эйлера равен \( 120^\circ \). Это связано с симметрией углов в треугольнике.

5. Таким образом, угол \( \angle A = 120^\circ \).

1. Треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом в точке C. Угол ACB равен 90 градусов.

2. Биссектриса угла A обозначена как AD, где D — точка на стороне BC. Биссектрисы делят углы пополам, поэтому угол BAD равен α и угол CAD равен α. Следовательно, угол BAC равен 2α.

3. Прямая Эйлера проходит через ортоцентр H, центроид G и центр окружности девяти точек N. В прямоугольном треугольнике точка C является ортоцентром, так как высоты из A и B пересекаются в C.

4. Угол между биссектрисой AD и прямой HG равен 120 градусов. Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике с углом C в 90 градусов и равенством углов, когда биссектрисы пересекают важные линии, угол между ними проявляет симметрию и равен 120 градусов.

5. Таким образом, угол A равен 120 градусов, что подтверждает условия задачи.

6. Так как треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом в точке C, и угол ACB равен 90 градусов, то угол BAC равен 90 градусов. Следовательно, угол A равен 120 градусов, угол B равен 30 градусов, а угол C равен 90 градусов.

7. Биссектриса угла A делит противоположную сторону BC пополам, поэтому отрезки AD и DC равны. Аналогично, биссектрисы углов B и C также делят противоположные стороны пополам.

8. Прямая Эйлера, проходящая через ортоцентр H, центроид G и центр окружности девяти точек N, является медианой треугольника ABC и делит его на два равных прямоугольных треугольника.

9. Угол между биссектрисой AD и прямой HG равен 120 градусов, так как в прямоугольном треугольнике с углом C в 90 градусов, угол между биссектрисами и важными линиями всегда равен 120 градусов.

10. Таким образом, все условия задачи выполняются: треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом в точке C и углом ACB, равным 90 градусам; угол A равен 120 градусов; биссектрисы делят углы пополам; прямая Эйлера проходит через ортоцентр, центроид и центр окружности девяти точек; угол между биссектрисой AD и прямой HG равен 120 градусов.