ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 17.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две окружности. Первая из них проходит через центр \(O\) второй окружности и пересекает эту окружность в точках \(M\) и \(N\) (рис. 17.4). Отрезок \(AB\) — диаметр второй окружности. Прямые \(AM\) и \(BN\) пересекают первую окружность в точках \(A_1\) и \(B_1\) соответственно. Докажите, что \(A_1B_1 = \frac{1}{2}AB\).

Дано, что первая окружность проходит через центр второй окружности и пересекает её в точках М и N. Отрезок АВ — диаметр второй окружности. Прямые АМ и BN пересекают первую окружность в точках А1 и В1 соответственно. Нужно доказать, что \(А1В1 = 1/2 АВ\).

Так как АВ — диаметр, угол \(∠АОВ = 90°\). Прямые АМ и BN пересекают первую окружность в точках А1 и В1, которые лежат на окружности, и являются хордами. Согласно теореме о хорде окружности, линия АВ, проходящая через центр окружности, перпендикулярна хордам АМ и BN. Следовательно, точки А1 и В1 находятся на прямой, которая делит отрезок АВ пополам, и \(А1В1 = 1/2 АВ\).

Рассмотрим треугольник AOB, где O — центр второй окружности, а AB — её диаметр. Так как AB является диаметром этой окружности, угол ∠AOB обязательно равен 90 градусам, поскольку диаметр всегда перпендикулярен радиусу окружности.

Прямая AM пересекает первую окружность в точке A1. Поскольку прямая AM пересекает окружность, можно утверждать, что точка A1 обязательно лежит на этой окружности, и линия AM является хордой первой окружности.

Аналогично, прямая BN пересекает первую окружность в точке B1. Точка B1 также лежит на первой окружности, а линия BN является ещё одной хордой этой окружности.

Согласно теореме о хордах окружности, отрезок, проходящий через центр окружности и перпендикулярный к хордам, обязательно делит эти хорды пополам. Таким образом, точки A1 и B1 лежат на одной прямой, которая проходит через центр первой окружности и делит отрезок AB пополам.

Следовательно, отрезок A1B1 равен ровно половине длины отрезка AB, то есть A1B1 = 1/2 AB.