ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\). Точка \(E\) — середина отрезка \(AM\). Прямая \(CE\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(D\). Известно, что \(AE^2 = EC \cdot ED\). Докажите, что точки \(A\), \(D\), \(M\) и \(C\) лежат на одной окружности.

1) \(DE = EC\), так как прямая СЕ пересекает сторону АВ в точке D.
2) \(\angle АЕМ = \frac{1}{2}\angle АМС\), \(\angle ЕСD = \frac{1}{2}\angle АВС\), \(\angle АМС = \angle АВС\), следовательно, \(\angle АЕМ = \angle ЕСD\).
3) Так как \(DE = EC\) и \(\angle АЕМ = \angle ЕСD\), то точки А, D, M и С лежат на одной окружности.

1) Найдем, что \(DE = EC\), так как прямая СЕ пересекает сторону АВ в точке D.
2) Докажем, что угол АЕМ равен углу ЕСD.
\(\angle АЕМ = \frac{1}{2}\angle АМС\) (Е — середина АМ)
\(\angle ЕСD = \frac{1}{2}\angle АВС\) (вписанный угол)
\(\angle АМС = \angle АВС\) (углы при параллельных прямых)
Следовательно, \(\angle АЕМ = \angle ЕСD\).
3) Так как \(DE = EC\) и \(\angle АЕМ = \angle ЕСD\), то точки А, D, M и С лежат на одной окружности.