ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку \(M\) и через неё провели хорды \(AB\) и \(CD\) (рис. 18.9). Докажите, что \(\angle DAB = \angle BCD\).
1. Рассмотрим две окружности, которые пересекаются в точке \( M \). Хорды \( AB \) и \( CD \) пересекаются в этой точке.
2. По теореме о угле, образованном двумя пересекающимися хордами, угол \( \angle DAB \) равен половине разности углов, опирающихся на соответствующие дуги: \( \angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} ) \).
3. Аналогично, угол \( \angle BCD \) равен: \( \angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{AB} — \overset{\frown}{DC} ) \).
4. Так как \( M \) является общей точкой для двух окружностей, дуги \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{DC} \) равны, то \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC} \).
5. Подставляя это в формулы, получаем: \( \angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} ) \) и \( \angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{AB} ) \). Поскольку \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC} \), то \( \angle DAB = \angle BCD \).
Ответ: \( \angle DAB = \angle BCD \).
1. Рассмотрим две окружности, которые пересекаются в точке \( M \). Пусть \( AB \) и \( CD \) — это хорды, которые пересекаются в точке \( M \). Мы хотим доказать, что \( \angle DAB = \angle BCD \).
2. По теореме о угле, образованном двумя пересекающимися хордами, угол, образованный двумя хордами, равен половине разности углов, опирающихся на соответствующие дуги. Для угла \( \angle DAB \) это можно записать как:
\(
\angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} )
\)
где \( \overset{\frown}{DC} \) и \( \overset{\frown}{BA} \) — это дуги, на которые опираются углы \( DAB \).
3. Теперь рассмотрим угол \( \angle BCD \). По аналогичной теореме мы можем записать:
\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{AB} — \overset{\frown}{DC} )
\)
где \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{DC} \) — это дуги, на которые опираются углы \( BCD \).
4. Поскольку \( M \) является общей точкой пересечения двух окружностей, дуги \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{DC} \) равны. То есть:
\(
\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC}
\)
5. Подставим это равенство в выражение для угла \( \angle DAB \):
\(
\angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} )
\)
6. И подставим это же равенство в выражение для угла \( \angle BCD \):
\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{AB} — \overset{\frown}{DC} )
\)
7. Поскольку \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC} \), мы можем заменить \( \overset{\frown}{AB} \) в формуле для \( \angle BCD \):
\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{DC} ) = \frac{1}{2} (0) = 0
\)
8. Теперь сравним оба выражения:
\(
\angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} )
\)
\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{DC} ) = 0
\)
9. Учитывая, что разности дуг одинаковы, можно утверждать, что \( \angle DAB = \angle BCD \).
10. Таким образом, мы пришли к выводу, что \( \angle DAB = \angle BCD \), что и требовалось доказать.
Ответ: \( \angle DAB = \angle BCD \).
