ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку \(M\) и через неё провели хорды \(AB\) и \(CD\) (рис. 18.9). Докажите, что \(\angle DAB = \angle BCD\).

1. Рассмотрим две окружности, которые пересекаются в точке \( M \). Хорды \( AB \) и \( CD \) пересекаются в этой точке.

2. По теореме о угле, образованном двумя пересекающимися хордами, угол \( \angle DAB \) равен половине разности углов, опирающихся на соответствующие дуги: \( \angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} ) \).

3. Аналогично, угол \( \angle BCD \) равен: \( \angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{AB} — \overset{\frown}{DC} ) \).

4. Так как \( M \) является общей точкой для двух окружностей, дуги \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{DC} \) равны, то \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC} \).

5. Подставляя это в формулы, получаем: \( \angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} ) \) и \( \angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{AB} ) \). Поскольку \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC} \), то \( \angle DAB = \angle BCD \).

Ответ: \( \angle DAB = \angle BCD \).

1. Рассмотрим две окружности, которые пересекаются в точке \( M \). Пусть \( AB \) и \( CD \) — это хорды, которые пересекаются в точке \( M \). Мы хотим доказать, что \( \angle DAB = \angle BCD \).

2. По теореме о угле, образованном двумя пересекающимися хордами, угол, образованный двумя хордами, равен половине разности углов, опирающихся на соответствующие дуги. Для угла \( \angle DAB \) это можно записать как:

\(
\angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} )
\)

где \( \overset{\frown}{DC} \) и \( \overset{\frown}{BA} \) — это дуги, на которые опираются углы \( DAB \).

3. Теперь рассмотрим угол \( \angle BCD \). По аналогичной теореме мы можем записать:

\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{AB} — \overset{\frown}{DC} )
\)

где \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{DC} \) — это дуги, на которые опираются углы \( BCD \).

4. Поскольку \( M \) является общей точкой пересечения двух окружностей, дуги \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{DC} \) равны. То есть:

\(
\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC}
\)

5. Подставим это равенство в выражение для угла \( \angle DAB \):

\(
\angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} )
\)

6. И подставим это же равенство в выражение для угла \( \angle BCD \):

\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{AB} — \overset{\frown}{DC} )
\)

7. Поскольку \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{DC} \), мы можем заменить \( \overset{\frown}{AB} \) в формуле для \( \angle BCD \):

\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{DC} ) = \frac{1}{2} (0) = 0
\)

8. Теперь сравним оба выражения:

\(
\angle DAB = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{BA} )
\)
\(
\angle BCD = \frac{1}{2} ( \overset{\frown}{DC} — \overset{\frown}{DC} ) = 0
\)

9. Учитывая, что разности дуг одинаковы, можно утверждать, что \( \angle DAB = \angle BCD \).

10. Таким образом, мы пришли к выводу, что \( \angle DAB = \angle BCD \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( \angle DAB = \angle BCD \).