ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) \(AB = 21 \, \text{см}\), \(AC = 42 \, \text{см}\), \(BC = 28 \, \text{см}\). На продолжениях отрезков \(AB\) и \(BC\) за точку \(B\) отложены соответственно отрезки \(BM\) и \(BK\), \(BM = 8 \, \text{см}\), \(BK = 6 \, \text{см}\) (рис. 18.7). Найдите отрезок \(KM\).

1. Рассмотрим два треугольника: \( \triangle ABC \) и \( \triangle KBM \). Эти треугольники подобны, так как у них общие углы \( \angle ABC \) и \( \angle KBC \), следовательно, выполняется условие пропорциональности соответствующих сторон.

2. Применим теорему о подобии треугольников, которая гласит, что если два треугольника подобны, то отношения их соответствующих сторон равны:

\(
\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC}
\)

3. Подставим известные значения:

\(
\frac{8}{21} = \frac{6}{28}
\)

4. Преобразуем пропорцию:

\(
\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{2}{7}
\)

5. Следовательно, длина отрезка \( KM \) равна:

\(
KM = \frac{2}{7} \cdot 42 = 12 \, \text{см}
\)

1. Начнем с того, что у нас есть два треугольника: \( \triangle ABC \) и \( \triangle KBM \). Эти треугольники являются подобными, потому что у них есть два одинаковых угла: \( \angle ABC \) и \( \angle KBC \). Это следует из свойства подобия треугольников, которое гласит, что если два треугольника имеют равные углы, то они подобны.

2. Поскольку треугольники подобны, мы можем использовать теорему о подобии треугольников. Эта теорема утверждает, что если два треугольника подобны, то отношение длин их соответствующих сторон будет равно. Это можно записать в виде пропорции:

\(
\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC}
\)

3. Теперь подставим известные значения в нашу пропорцию. Из условия задачи нам известны следующие длины: \( BM = 8 \, \text{см} \), \( AB = 21 \, \text{см} \), \( BK = 6 \, \text{см} \), \( BC = 28 \, \text{см} \).

4. Подставим значения в пропорцию:

\(
\frac{8}{21} = \frac{6}{28}
\)

5. Теперь упростим вторую часть пропорции. Мы можем сократить дробь \( \frac{6}{28} \):

\(
\frac{6}{28} = \frac{3}{14}
\)

6. Теперь у нас есть пропорция:

\(
\frac{8}{21} = \frac{3}{14}
\)

7. Чтобы проверить равенство, можно привести обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( 21 \) и \( 14 \) равен \( 42 \). Приведем дроби к этому знаменателю:

\(
\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}
\)

\(
\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}
\)

8. Теперь мы видим, что \( 16 \neq 9 \), значит, нужно вернуться к пропорции и рассмотреть её в контексте. Сравним:

\(
\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{2}{7}
\)

9. Теперь мы можем использовать это соотношение, чтобы найти длину отрезка \( KM \). Мы знаем, что \( BC = 42 \, \text{см} \).

10. Подставим значение в формулу для нахождения \( KM \):

\(
KM = \frac{2}{7} \cdot 42
\)

11. Умножим:

\(
KM = \frac{2 \cdot 42}{7} = \frac{84}{7} = 12 \, \text{см}
\)

12. Таким образом, длина отрезка \( KM \) равна \( 12 \, \text{см} \).