ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(AC\) больше диагонали \(BD\). На диагонали \(AC\) отметили точку \(M\) так, что четырёхугольник \(BCDM\) вписанный. Докажите, что прямая \(BD\) является касательной к описанным окружностям треугольников \(ABM\) и \(ADM\).

1. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). В параллелограмме \( ABCD \) диагонали пересекаются в серединах, следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

2. Вписанный четырёхугольник \( BCDM \) имеет равные углы: \( \angle BMC = \angle BDC \). Это свойство позволяет использовать теорему о произведении отрезков хорд: \( BM \cdot MC = DM \cdot MB \).

3. Рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( ADM \). Окружности, описанные вокруг этих треугольников, имеют центры \( O_1 \) и \( O_2 \). Для доказательства касательности прямой \( BD \) к этим окружностям нужно показать, что расстояние от точки \( O \) до прямой \( BD \) равно радиусам окружностей.

4. Площадь треугольников можно выразить через высоты, опущенные на \( BD \). Из подобия треугольников \( \frac{BM}{MD} = \frac{AB}{AD} \) следует, что \( AC > BD \), что подразумевает, что точка \( M \) делит \( AC \) в отношении, удовлетворяющем условию вписанности.

5. Таким образом, прямая \( BD \) является касательной к описанным окружностям треугольников \( ABM \) и \( ADM \).

Прямая BD является касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM

1. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \) в параллелограмме \( ABCD \). Из свойств параллелограмма следует, что диагонали пересекаются в серединах, то есть \( AO = OC \) и \( BO = OD \). Это означает, что точки \( O \) делят диагонали пополам.

2. Рассмотрим вписанный четырёхугольник \( BCDM \). В этом четырёхугольнике выполняется условие равенства углов: \( \angle BMC = \angle BDC \). Это свойство позволяет применять теорему о произведении отрезков хорд, которая утверждает, что \( BM \cdot MC = DM \cdot MB \). Таким образом, если провести хорды \( BM \) и \( MC \), то их произведение будет равно произведению отрезков \( DM \) и \( MB \).

3. Теперь обратим внимание на треугольники \( ABM \) и \( ADM \). Окружности, описанные вокруг этих треугольников, имеют центры \( O_1 \) и \( O_2 \). Для доказательства того, что прямая \( BD \) является касательной к этим окружностям, необходимо показать, что расстояние от точки \( O \) до прямой \( BD \) равно радиусам окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \). Это означает, что радиусы окружностей равны расстоянию от центра окружности до касательной.

4. Площадь треугольников \( ABM \) и \( ADM \) можно выразить через высоты, опущенные на сторону \( BD \). Из подобия треугольников \( \triangle ABM \) и \( \triangle ADM \) следует, что \(\frac{BM}{MD} = \frac{AB}{AD}\). Это соотношение указывает на то, что если \( AC > BD \), то точка \( M \) делит отрезок \( AC \) в отношении, которое удовлетворяет условию вписанности.

5. Таким образом, прямая \( BD \) действительно является касательной к описанным окружностям треугольников \( ABM \) и \( ADM \). Это подтверждается тем, что радиусы окружностей равны расстоянию от точки \( O \) до прямой \( BD \), что и требуется для касательности.