ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\). Точка \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Докажите, что отрезки \(BO\) и \(A_1C_1\) перпендикулярны.

Докажем, что отрезки BO и AC перпендикулярны. Для этого заметим, что треугольник AOB — прямоугольный, так как высота AA проведена из вершины A. Следовательно, BO перпендикулярно AC.

1) Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведены высоты AA’ и CC’.
2) Точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC.
3) Так как треугольник AOB — прямоугольный (высота AA’ проведена из вершины A), то BO перпендикулярно AC.
4) Аналогично, так как треугольник COA — прямоугольный (высота CC’ проведена из вершины C), то CO перпендикулярно AB.
5) Следовательно, отрезки BO и AC перпендикулярны.