ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка \(O\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). На сторонах \(AC\) и \(BC\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) так, что \(BK \cdot AB = BO^2\) и \(AM \cdot AB = AO^2\). Докажите, что точки \(M\), \(O\) и \(K\) лежат на одной прямой.

Точки М, О и К лежат на одной прямой, так как выполняется равенство:
ВК · АВ = ВО^2
АМ · АВ = АО^2
Это означает, что треугольник АВО является прямоугольным, и точка О является центром вписанной окружности.

1) Дано, что точка О является центром вписанной окружности треугольника АВС.
2) На сторонах АС и ВС отмечены точки М и К соответственно, такие что:
\(ВК \cdot АВ = ВО^2\)
\(АМ \cdot АВ = АО^2\)
3) Из равенств следует, что треугольник АВО является прямоугольным, с прямым углом в точке В.
4) Так как точка О является центром вписанной окружности, она лежит на биссектрисах углов треугольника.
5) Следовательно, точки М, О и К лежат на одной прямой.