ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB = BC\)) провели биссектрису \(AM\). На луче \(CA\) отложили отрезок \(CN\), равный отрезку \(BM\). Докажите, что точки \(A\), \(B\), \(M\) и \(N\) лежат на одной окружности.

Докажем, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности. Так как треугольник АВС равнобедренный, то АВ = ВС. Отложив отрезок СN, равный ВМ, мы получаем, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности, так как АВ = ВС и АВ = ВМ + МС.

Для доказательства того, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности, рассмотрим следующие шаги:

1) Так как треугольник АВС является равнобедренным, то \(АВ = ВС\). Это означает, что отрезки АВ и ВС равны по длине.

2) Проведем биссектрису АМ треугольника АВС. Биссектриса АМ делит угол при вершине А пополам, то есть \(\angle АМВ = \angle АМС\).

3) На луче СА отложим отрезок СN, равный по длине отрезку ВМ. Таким образом, \(ВМ = СN\).

4) Так как \(АВ = ВС\) и \(ВМ = СN\), то можно утверждать, что \(АВ = ВМ + МС\). Это означает, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности.

5) Для доказательства этого факта рассмотрим треугольник АВМ. Так как \(АВ = ВМ\) и \(\angle АМВ = \angle ВМА\), то треугольник АВМ является равнобедренным.

6) Аналогично, треугольник СВМ также является равнобедренным, так как \(ВС = ВМ\) и \(\angle СМВ = \angle ВМС\).

7) Таким образом, точки А, В, М и N лежат на одной окружности, так как \(АВ = ВМ + МС\).

8) Следовательно, доказано, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности.

9) Это можно записать в виде математической формулы: \(АВ = ВМ + МС\).

10) Таким образом, мы полностью доказали, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности.