ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для сторон треугольника \(ABC\) выполняется равенство \(BC^2 = AC^2 + AC \cdot AB\). Докажите, что \(\angle A = 2 \angle B\).

Согласно условию, для сторон треугольника АВС выполняется равенство \(ВС^2 = AC^2 + AC \cdot AB\). Чтобы доказать, что \(ДА = 2/В\), можно сделать следующее:
1) Пусть \(ВС = a\), \(AC = b\), \(AB = c\).
2) Тогда по условию: \(a^2 = b^2 + b \cdot c\).
3) Разделив обе части на \(b^2\), получаем: \(a^2/b^2 = 1 + c/b\).
4) Обозначим \(x = c/b\), тогда \(a^2/b^2 = 1 + x\).
5) Рассмотрим треугольник АДВ. По теореме косинусов: \(ДА^2 = b^2 + b^2 — 2b^2 \cdot \cos(\pi — В)\).
6) Упростив, получаем: \(ДА^2 = 2b^2(1 — \cos(В))\).
7) Разделив обе части на \(b^2\), имеем: \((ДА/b)^2 = 2(1 — \cos(В))\).
8) Из п.4 следует: \(a^2/b^2 = 1 + x\).
9) Подставляя в п.7, получаем: \(ДА/b = \sqrt{2(1 — 1/(1+x))} = \sqrt{2x/(1+x)} = 2/\sqrt{1+x} = 2/\sqrt{1+c/b} =\)
\(=2/\sqrt{1+1/k} = 2/В\), где \(k = AC/AB\).

Согласно условию задачи, для сторон треугольника АВС выполняется равенство \(ВС^2 = AC^2 + AC \cdot AB\). Требуется доказать, что \(ДА = 2/В\).

Доказательство:
1) Пусть \(ВС = a\), \(AC = b\), \(AB = c\). Тогда по условию: \(a^2 = b^2 + b \cdot c\).
2) Разделив обе части на \(b^2\), получаем: \(a^2/b^2 = 1 + c/b\).
3) Введем обозначение \(x = c/b\), тогда \(a^2/b^2 = 1 + x\).
4) Рассмотрим треугольник АДВ. По теореме косинусов: \(ДА^2 = b^2 + b^2 — 2b^2 \cdot \cos(\pi — В)\).
5) Упростив, имеем: \(ДА^2 = 2b^2(1 — \cos(В))\).
6) Разделив обе части на \(b^2\), получаем: \((ДА/b)^2 = 2(1 — \cos(В))\).
7) Из п.3 следует: \(a^2/b^2 = 1 + x\).
8) Подставляя в п.6, имеем: \(ДА/b = \sqrt{2(1 — 1/(1+x))} = \sqrt{2x/(1+x)} = 2/\sqrt{1+x} = 2/\sqrt{1+c/b} =\)
\(= 2/\sqrt{1+1/k} = 2/В\), где \(k = AC/AB\).
9) Таким образом, мы доказали, что \(ДА = 2/В\).
10) Для доказательства этого равенства мы использовали следующие шаги:
a) Ввели обозначения для сторон треугольника: \(ВС = a\), \(AC = b\), \(AB = c\).
b) Записали условие задачи в виде равенства \(a^2 = b^2 + b \cdot c\).
c) Разделили обе части на \(b^2\), чтобы получить \(a^2/b^2 = 1 + c/b\).
d) Ввели обозначение \(x = c/b\), тогда \(a^2/b^2 = 1 + x\).
e) Рассмотрели треугольник АДВ и применили теорему косинусов, чтобы получить выражение для \(ДА^2\).
f) Разделив обе части на \(b^2\), получили \((ДА/b)^2 = 2(1 — \cos(В))\).
g) Подставив выражение для \(a^2/b^2\) из п.3, вывели окончательное равенство \(ДА/b = 2/\sqrt{1+x}= 2/\sqrt{1+c/b} = 2/\sqrt{1+1/k} = 2/В\).
11) Таким образом, мы полностью доказали, что \(ДА = 2/В\).