ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 18.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) так, что \(CM = 15 \, \text{см}\), \(CK = 12 \, \text{см}\). Найдите отрезок \(MK\), если \(AC = 20 \, \text{см}\), \(BC = 25 \, \text{см}\), \(AB = 30 \, \text{см}\).

1. \( \angle C — \text{общий} \)
2. \( \frac{CK}{CB} = \frac{CM}{CA} \Rightarrow \triangle CMK \sim \triangle CBA \)
3. \( \frac{MK}{AB} = \frac{3}{5} \Rightarrow MK = 18 \, \text{см} \)

Для решения задачи используем свойства подобных треугольников.

1. У нас есть треугольник \(ABC\) с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\). Мы отметили точки \(M\) на стороне \(AC\) и \(K\) на стороне \(BC\). Даны длины отрезков: \(CM = 15 \, \text{см}\), \(CK = 12 \, \text{см}\), \(AC = 20 \, \text{см}\), \(BC = 25 \, \text{см}\), \(AB = 30 \, \text{см}\).

2. Поскольку \(CM\) и \(CK\) являются частями сторон \(AC\) и \(BC\) соответственно, мы можем рассмотреть треугольники \(CMK\) и \(CBA\). Углы \(C\) в обоих треугольниках являются общими, следовательно, треугольники \(CMK\) и \(CBA\) подобны.

3. По свойству подобия треугольников, имеем соотношение:
\(
\frac{CK}{CB} = \frac{CM}{CA}
\)

4. Подставим известные значения:
\(
\frac{12}{25} = \frac{15}{20}
\)

5. Упростим правую часть:
\(
\frac{15}{20} = \frac{3}{4}
\)

6. Теперь у нас есть отношение \( \frac{CK}{CB} = \frac{3}{4} \). Это означает, что длина отрезка \(MK\) также будет пропорциональна длине стороны \(AB\).

7. Мы знаем, что:
\(
\frac{MK}{AB} = \frac{CK}{CB} = \frac{3}{5}
\)

8. Теперь подставим значение \(AB = 30 \, \text{см}\):
\(
MK = \frac{3}{5} \cdot 30 = 18 \, \text{см}
\)

Таким образом, длина отрезка \(MK\) равна \(18 \, \text{см}\).