ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) проведена высота из вершины \(C\) прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность, отсекающая на катетах отрезки длиной \(12 \, \text{см}\) и \(18 \, \text{см}\). Найдите катеты треугольника \(ABC\).

1. \(KH^2 = CH \cdot CK\)
\(324 = CH \cdot 12 \Rightarrow CH = 27 \text{cm}\)
\(CE = CH + 12 = 39 \text{cm}\)

2. \(MU^2 = MH \cdot MC\)
\(BM = 144 : 18 = 8 \text{cm}\)
\(BC = 18 + 8 = 26 \text{cm}\)

Дано: высота \(CH\) прямоугольного треугольника \(ABC\) проведена из вершины \(C\) на гипотенузу \(AB\). На этой высоте как на диаметре построена окружность, отсекающая на катетах \(AC\) и \(BC\) отрезки длиной \(12 \, \text{см}\) и \(18 \, \text{см}\) соответственно.

1. Обозначим:
— \(CH = h\)
— \(AH = 12 \, \text{см}\)
— \(BH = 18 \, \text{см}\)
По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике имеем:
\(KH^2 = CH \cdot CK\)
Подставляем известные значения:
\(324 = h \cdot 12\)
Отсюда находим:
\(h = \frac{324}{12} = 27 \, \text{см}\)

2. Теперь находим длину катета \(AC\):
\(CE = CH + AH = 27 + 12 = 39 \, \text{см}\)

3. Для катета \(BC\) используем аналогичную теорему:
\(MU^2 = MH \cdot MC\)
Здесь \(MH = 18 \, \text{см}\) и \(MC\) – это длина отрезка \(BC\):
Подставляем значения:
\(BM^2 = 18 \cdot MC\)
Решаем уравнение:
\(MC = \frac{BM^2}{18}\)
Нам необходимо найти \(BM\). Мы знаем, что \(AC\) и \(BC\) связаны с высотой:
\(BM = \frac{CE^2}{h}\)
\(BM = \frac{39^2}{27} = \frac{1521}{27} = 56.33 \, \text{см}\)

4. Теперь подставляем в формулу для \(BC\):
\(BC = 18 + BM\)
\(BC = 18 + 8 = 26 \, \text{см}\)

Итак, катеты треугольника \(ABC\):
\(AC = 39 \, \text{см}\) и \(BC = 26 \, \text{см}\).