ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Один из катетов прямоугольного треугольника равен \(15 \, \text{см}\), а проекция другого катета на гипотенузу равна \(16 \, \text{см}\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

1. Пусть \(CD = x, CH = x — 16\). \(CE^2 = CB \cdot CH\) \(225 = x(x — 16)\) \(x^2 — 16x — 225 = 0\)

2. Решаем квадратное уравнение: \(16 + 34 = 25\) \(CB = 25 \, \text{см}, CH = 9 \, \text{см}\)

3. \(BC^2 = CB \cdot BH\) \(BC^2 = 25 \cdot 16 = 400\) \(BC = 20 \, \text{см}\)

4. \(r = \frac{CE + BC — CD}{2}\) \(r = \frac{15 + 20 — 25}{2} = 5 \, \text{см}\)

1. Обозначим длину отрезка \( CD \) как \( x \). Тогда, согласно условию задачи, длина отрезка \( CH \) будет равна \( x — 16 \), так как точка \( H \) лежит между точками \( C \) и \( D \), а разница в расстояниях составляет 16 см.

2. Применяем известное свойство прямоугольного треугольника, связанное с высотой, проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу. В данном случае используется формула:
\( CE^2 = CB \cdot CH \),
где \( CE \) — это высота, проведённая к гипотенузе, \( CB \) и \( CH \) — отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

3. Подставляем численные значения:
\( 15^2 = x(x — 16) \),
\( 225 = x^2 — 16x \).

4. Переписываем уравнение в стандартном виде:
\( x^2 — 16x — 225 = 0 \).

5. Решаем квадратное уравнение методом дискриминанта:
\( D = (-16)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 225 = 256 + 900 = 1156 \),
\( \sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34 \),
тогда корни уравнения:
\( x_1 = \frac{16 + 34}{2} = 25 \),
\( x_2 = \frac{16 — 34}{2} = -9 \).

Так как длина не может быть отрицательной, принимаем \( x = 25 \).
Следовательно:
\( CD = 25 \, \text{см}, \, CH = 25 — 16 = 9 \, \text{см} \).

6. Теперь найдём длину катета \( BC \), используя теорему Пифагора для треугольника \( BCH \), где \( BH = 16 \, \text{см} \):
\( BC^2 = CB \cdot BH = 25 \cdot 16 = 400 \),
откуда:
\( BC = \sqrt{400} = 20 \, \text{см} \).

7. Найдём радиус вписанной окружности \( r \), применив соответствующую формулу для прямоугольного треугольника:
\( r = \frac{a + b — c}{2} \),
где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
В нашем случае:
\( a = CE = 15 \, \text{см}, \, b = BC = 20 \, \text{см}, \, c = CD = 25 \, \text{см} \).

8. Подставляем значения:
\( r = \frac{15 + 20 — 25}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см} \).

Ответ:
\( r = 5 \, \text{см} \).