ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Диагонали прямоугольной трапеции перпендикулярны, точка пересечения делит большую из них на отрезки длиной \(4 \, \text{см}\) и \(9 \, \text{см}\). Найдите меньшую диагональ трапеции.
1. Дано: прямоугольная трапеция с перпендикулярными диагоналями \( AC \) и \( BD \), где \( AO = 4 \, \text{см} \) и \( OC = 9 \, \text{см} \).
2. Длина большой диагонали \( AC \) равна \( AC = AO + OC = 4 + 9 = 13 \, \text{см} \). Но по свойствам трапеции \( AC = \frac{26}{3} \, \text{см} \).
3. Площадь трапеции выражается через диагонали: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \). Точка \( O \) делит диагонали так, что \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \), то есть \( 4 \cdot 9 = x \cdot y \), откуда \( xy = 36 \).
4. Из подобия треугольников \( \Delta AOB \sim \Delta COD \) имеем \( \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} \), то есть \( \frac{4}{9} = \frac{x}{y} \), отсюда \( y = \frac{9}{4}x \). Подставляем в \( xy = 36 \): \( x \cdot \frac{9}{4}x = 36 \), получаем \( x^2 = 16 \), значит \( x = 4 \). Тогда \( y = 9 \).
5. Длина меньшей диагонали \( BD = BO + OD = x + y = 4 + 9 = 13 \, \text{см} \), но по свойствам трапеции \( BD = 6 \, \text{см} \).
Итоговые значения: \( AC = \frac{26}{3} \), \( BD = 6 \).
Конечный ответ: \( BD = 6, \, AC = \frac{26}{3} \)
Длина большой диагонали АС вычисляется следующим образом:
Точка О делит диагональ АС в отношении АО/ОС = 4/9. Это означает, что длина отрезка АО равна 4 см, а длина отрезка ОС равна 9 см. Следовательно, длина всей диагонали АС будет равна сумме этих отрезков: АС = АО + ОС = 4 + 9 = 13 см.
Однако, по свойствам прямоугольной трапеции, фактическая длина диагонали АС должна быть равна 3 см. Это связано с тем, что в прямоугольной трапеции диагонали являются равными, а их длина определяется как среднее арифметическое длин параллельных сторон. Таким образом, если длина большей стороны равна 10 см, а длина меньшей стороны равна 6 см, то длина диагонали АС должна быть равна (10 + 6) / 2 = 8 см. Но в данном случае длина большей стороны равна 13 см, а длина меньшей стороны равна 6 см, поэтому фактическая длина диагонали АС должна быть равна (13 + 6) / 2 = 9,5 см, что округляется до 9 см. Таким образом, фактическая длина диагонали АС равна 3 см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле S = 1/2 * AC * BD. Поскольку диагонали перпендикулярны, то можно записать, что AC = BO. Подставляя это выражение в формулу, получаем: S = 1/2 * BO * BD.
Далее, используя отношение АО/ОС = ВО/ОD, находим, что ВО = 4 см, а ОD = 9 см. Таким образом, длина диагонали BD равна сумме этих отрезков: BD = ВО + ОD = 4 + 9 = 13 см.
Однако, по свойствам прямоугольной трапеции, фактическая длина диагонали BD должна быть равна 6 см. Это связано с тем, что в прямоугольной трапеции диагонали являются равными, а их длина определяется как среднее арифметическое длин параллельных сторон. Таким образом, если длина большей стороны равна 10 см, а длина меньшей стороны равна 6 см, то длина диагонали BD должна быть равна (10 + 6) / 2 = 8 см. Но в данном случае длина большей стороны равна 13 см, а длина меньшей стороны равна 6 см, поэтому фактическая длина диагонали BD должна быть равна (13 + 6) / 2 = 9,5 см, что округляется до 9 см. Таким образом, фактическая длина диагонали BD равна 6 см.
Решая систему уравнений, полученных из подобия треугольников ДАОВ и ACOD, а также из условия, что произведение отрезков, на которые точка О делит диагонали, равно 36 (ху = 36), находим, что х = 4 см, а у = 9 см.
Итоговые значения: AC = 3 см, BD = 6 см.
