ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в трапецию \(ABCD\), касается боковых сторон \(AB\) и \(CD\) трапеции соответственно в точках \(K\) и \(M\). Докажите, что \(AK \cdot KB = CM — MD\).

Согласно условию задачи, окружность вписана в трапецию ABCD и касается ее боковых сторон AB и CD в точках K и M соответственно. Требуется доказать, что произведение отрезков АК и КВ равно произведению отрезков СМ и МD.

1) Проведем диагональ AC трапеции ABCD. Тогда треугольники АКС и DМС будут подобными, так как они имеют общий угол С и касательные АК и DM, проведенные из одной точки С.
2) Из подобия треугольников АКС и DМС следует, что отношение сторон АК/DM = СМ/СК.
3) Аналогично, треугольники BКD и АМС также подобны, так как имеют общий угол К и касательные ВК и АМ, проведенные из одной точки К.
4) Из подобия треугольников BКD и АМС следует, что отношение сторон ВК/АМ = СД/СМ.
5) Перемножая полученные отношения, получаем: АК·КВ = СМ·МD.

Таким образом, доказано, что произведение отрезков АК и КВ равно произведению отрезков СМ и МD.