ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной \(3 \, \text{см}\) и \(27 \, \text{см}\). Найдите высоту трапеции.

Из условия известно, что боковая сторона трапеции делится на отрезки 3 см и 27 см. Используя теорему о пропорциональности отрезков, проведенных из точки касания к окружности, вписанной в трапецию, находим \(h = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9\) см. Однако, так как площадь трапеции равна \(S = 270\) см^2, а \(S = \frac{1}{2}(a + b)h\), где \(a\) и \(b\) — длины оснований, то \(h = \frac{270}{\frac{1}{2}(3 + 27)} = 18\) см.

1. Из условия задачи известно, что боковая сторона трапеции делится на отрезки длиной 3 см и 27 см.
2. Согласно теореме о пропорциональности отрезков, проведенных из точки касания к окружности, вписанной в трапецию, мы можем найти высоту трапеции по формуле:
\(h = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9\) см
3. Таким образом, высота трапеции равна 9 см.
4. Чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать формулу площади трапеции: \(S = \frac{1}{2}(a + b)h\), где \(a\) и \(b\) — длины оснований трапеции, а \(h\) — ее высота.
5. Из условия задачи известно, что длина одного основания равна 3 см, а длина другого основания равна 27 см. Подставляя эти значения в формулу площади трапеции, получаем:
\(S = \frac{1}{2}(3 + 27)h = \frac{1}{2}(30)h = 15h\)
6. Так как площадь трапеции равна \(S = 270\) см^2, то можно записать:
\(15h = 270\)
7. Решая это уравнение, находим:
\(h = \frac{270}{15} = 18\) см
8. Таким образом, высота трапеции равна 18 см.
9. Чтобы проверить правильность решения, можно подставить найденное значение высоты в формулу площади трапеции:
\(S = \frac{1}{2}(3 + 27)18 = 270\) см^2
10. Полученный результат совпадает с условием задачи, что подтверждает правильность решения.