ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной \(5 \, \text{см}\) и \(20 \, \text{см}\). Найдите катеты треугольника.

1. Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, где диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

2. Точка \(M\) лежит на диагонали \(AC\), и четырехугольник \(BCDM\) вписан в окружность. Это значит, что \(\angle BMC = \angle BDC\) (углы опираются на одну и ту же дугу).

3. В параллелограмме \(\angle ABD = \angle CDB\) (накрест лежащие углы). Обозначим центры окружностей, описанных вокруг треугольников \(ABM\) и \(ADM\), как \(O_1\) и \(O_2\).

4. Чтобы прямая \(BD\) была касательной к этим окружностям, нужно, чтобы расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\) равно радиусу окружности, и угол между \(BD\) и радиусом равен \(90^\circ\).

5. Рассмотрим высоты \(MH_1\) и \(MH_2\) из точки \(M\) на прямую \(BD\). Эти высоты являются радиусами окружностей. Из подобия треугольников \(ABM\) и \(CBM\) (также \(ADM\) и \(CDM\)) получаем: \(\frac{BM}{MD} = \frac{AB}{AD}\).

6. Это соотношение показывает, что прямая \(BD\) имеет одинаковый угол наклона к радиусам окружностей, что и доказывает, что прямая \(BD\) касается окружностей.

Таким образом, прямая \(BD\) является касательной к окружностям, описанным вокруг треугольников \(ABM\) и \(ADM\).

1. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). В этом параллелограмме диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). По свойству параллелограмма известно, что точка пересечения диагоналей делит их пополам, то есть \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

2. Точка \(M\) находится на диагонали \(AC\), и вокруг четырехугольника \(BCDM\) можно описать окружность. Это означает, что \(BCDM\) является вписанным четырехугольником, и для него выполняется равенство углов: \(\angle BMC = \angle BDC\). Эти углы опираются на одну и ту же дугу \(BC\) в описанной окружности.

3. Параллелограмм имеет свойства, которые позволяют утверждать, что противоположные углы равны. В частности, \(\angle ABD = \angle CDB\) — это накрест лежащие углы, образованные пересечением двух параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) с секущей \(BD\).

4. Обозначим центры окружностей, описанных вокруг треугольников \(ABM\) и \(ADM\), как \(O_1\) и \(O_2\) соответственно. Для того чтобы прямая \(BD\) была касательной к этим окружностям, необходимо, чтобы расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\) совпадало с радиусом окружности, и угол между прямой \(BD\) и радиусом в точке касания равнялся \(90^\circ\).

5. Рассмотрим высоты \(MH_1\) и \(MH_2\) из точки \(M\) на прямую \(BD\). Эти высоты будут радиусами окружностей, описанных вокруг треугольников \(ABM\) и \(ADM\). Высота \(MH_1\) из точки \(M\) на прямую \(BD\) в треугольнике \(ABM\) перпендикулярна \(BD\), и аналогично высота \(MH_2\) в треугольнике \(ADM\).

6. Чтобы показать, что прямая \(BD\) является касательной к окружностям, нужно убедиться, что угол между \(BD\) и радиусами \(O_1M\) и \(O_2M\) равен \(90^\circ\). Это происходит, если высоты \(MH_1\) и \(MH_2\) равны радиусам окружностей, что подтверждает, что расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\) равно радиусам.

7. Теперь рассмотрим подобие треугольников. В треугольниках \(ABM\) и \(CBM\) (также в \(ADM\) и \(CDM\)) мы можем установить отношение: \(\frac{BM}{MD} = \frac{AB}{AD}\). Это соотношение показывает, что прямая \(BD\) имеет одинаковый угол наклона к радиусам окружностей, что также подтверждает касание.

8. Рассмотрим еще одно важное свойство вписанных углов. В четырехугольнике \(BCDM\) выполняется соотношение: \(BM \cdot MC = DM \cdot MB\). Это свойство указывает на симметрию положения точки \(M\) относительно диагонали \(BD\).

9. Учитывая все вышесказанное, мы можем заключить, что прямая \(BD\) не пересекает окружности, описанные вокруг треугольников \(ABM\) и \(ADM\), а лишь касается их. Это следует из того, что расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\) равно радиусам окружностей, и углы между радиусами и прямой \(BD\) равны \(90^\circ\).

10. Таким образом, окончательный вывод: прямая \(BD\) является касательной к окружностям, описанным вокруг треугольников \(ABM\) и \(ADM\).