ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на \(3 \, \text{см}\) меньше этой высоты, а другой — на \(4 \, \text{см}\) больше высоты.

1. Пусть \( ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине \( A \). Высота \( h \), проведённая из точки \( A \) на гипотенузу \( BC \), делит её на два отрезка: один из них на \( 3 \, \text{см} \) меньше высоты, а другой на \( 4 \, \text{см} \) больше высоты.

2. Обозначим высоту как \( h \). Тогда длины отрезков гипотенузы:
— Первый отрезок: \( h — 3 \).
— Второй отрезок: \( h + 4 \).

3. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике:
\( h^2 = (h — 3)(h + 4) \). Раскроем скобки:
\( h^2 = h^2 + 4h — 3h — 12 \), что упрощается до:
\( h^2 = h^2 + h — 12 \).

4. Упрощаем уравнение:
\( 0 = h — 12 \), отсюда \( h = 12 \).

5. Найдём длины отрезков гипотенузы:
— Первый отрезок: \( h — 3 = 12 — 3 = 9 \, \text{см} \).
— Второй отрезок: \( h + 4 = 12 + 4 = 16 \, \text{см} \).

6. Длина гипотенузы \( BC \):
\( BC = (h — 3) + (h + 4) = 9 + 16 = 25 \, \text{см} \).

7. Для нахождения катетов \( AB \) и \( AC \) используем теорему о проекциях:
— Проекция катета \( AB \) равна \( h + 4 = 16 \, \text{см} \).
— Проекция катета \( AC \) равна \( h — 3 = 9 \, \text{см} \).

8. Применяем теорему о проекциях:
\( AB^2 = (h + 4) \cdot BC = 16 \cdot 25 = 400 \), отсюда \( AB = \sqrt{400} = 20 \, \text{см} \).

9. Аналогично для катета \( AC \):
\( AC^2 = (h — 3) \cdot BC = 9 \cdot 25 = 225 \), отсюда \( AC = \sqrt{225} = 15 \, \text{см} \).

Таким образом, стороны треугольника \( ABC \) равны: 15см,20см,25см

1. Пусть \( ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине \( A \). Высота \( h \), проведённая из точки \( A \) на гипотенузу \( BC \), делит её на два отрезка: один из них на \( 3 \, \text{см} \) меньше высоты, а другой на \( 4 \, \text{см} \) больше высоты. Обозначим длины отрезков как \( x_1 \) и \( x_2 \).

2. Обозначим высоту как \( h \). Тогда длины отрезков гипотенузы:
— Первый отрезок: \( x_1 = h — 3 \).
— Второй отрезок: \( x_2 = h + 4 \).

3. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, высота \( h \) связана с отрезками гипотенузы следующим образом:
\( h^2 = x_1 \cdot x_2 \). Подставим выражения для \( x_1 \) и \( x_2 \):
\( h^2 = (h — 3)(h + 4) \).

4. Раскроем скобки:
\( h^2 = h^2 + 4h — 3h — 12 \). Упрощая, получаем:
\( h^2 = h^2 + h — 12 \). Переносим все члены в одну сторону уравнения:
\( 0 = h — 12 \).

5. Таким образом, высота равна \( h = 12 \, \text{см} \). Теперь найдём длины отрезков гипотенузы:
— Первый отрезок: \( x_1 = h — 3 = 12 — 3 = 9 \, \text{см} \).
— Второй отрезок: \( x_2 = h + 4 = 12 + 4 = 16 \, \text{см} \).

6. Длина гипотенузы \( BC \) равна сумме этих отрезков:
\( BC = x_1 + x_2 = 9 + 16 = 25 \, \text{см} \).

7. Теперь найдем длины катетов \( AB \) и \( AC \). Для этого используем теорему о проекциях, которая утверждает, что длина катета равна произведению его проекции на гипотенузу и самой гипотенузы:
— Проекция катета \( AB \) равна \( h + 4 = 16 \, \text{см} \).
— Проекция катета \( AC \) равна \( h — 3 = 9 \, \text{см} \).

8. Применяем теорему о проекциях для катета \( AB \):
\( AB^2 = (h + 4) \cdot BC = 16 \cdot 25 = 400 \). Отсюда:
\( AB = \sqrt{400} = 20 \, \text{см} \).

9. Аналогично для катета \( AC \):
\( AC^2 = (h — 3) \cdot BC = 9 \cdot 25 = 225 \). Отсюда:
\( AC = \sqrt{225} = 15 \, \text{см} \).

Таким образом, стороны треугольника \( ABC \) равны: 15см,20см,25см