ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на \(10 \, \text{см}\) и больше своей проекции на гипотенузу на \(8 \, \text{см}\).

1. Пусть больший катет равен \(x+10\) см, а меньший катет равен \(x\) см.
2. Тогда гипотенуза равна \(\sqrt{(x+10)^2 + x^2} = \sqrt{2x^2 + 20x + 100} = \sqrt{2}(x + 10)\) см.
3. Так как гипотенуза больше меньшего катета на 10 см, то \(\sqrt{2}(x + 10) = x + 10 + 8\), откуда \(x = 9\) см.
4. Высота, проведённая к гипотенузе, равна \(h = \sqrt{(x+10)^2 — x^2} = \sqrt{200} = 20\) см.
5. Таким образом, меньший катет равен \(x = 9\) см, а высота, проведённая к гипотенузе, равна \(h = 24\) см.

Пусть меньший катет прямоугольного треугольника равен \(x\) см, а больший катет равен \(x+10\) см. Тогда гипотенуза будет равна \(\sqrt{(x+10)^2 + x^2}\) см.

Из условия задачи известно, что гипотенуза больше меньшего катета на 10 см. Поэтому можно записать уравнение:
\(\sqrt{(x+10)^2 + x^2} = x + 10 + 8\)

Решая это уравнение, получаем:
\(\sqrt{2x^2 + 20x + 100} = x + 18\)
\(2x^2 + 20x + 100 = (x + 18)^2\)
\(2x^2 + 20x + 100 = x^2 + 36x + 324\)
\(x^2 — 16x — 224 = 0\)
\(x = 9\) см

Таким образом, меньший катет прямоугольного треугольника равен \(x = 9\) см.

Теперь найдём высоту, проведённую к гипотенузе. Она равна \(\sqrt{(x+10)^2 — x^2}\). Подставляя \(x = 9\), получаем:
\(\sqrt{(9+10)^2 — 9^2} = \sqrt{361 — 81} = \sqrt{280} = 24\) см

Поэтому высота, проведённая к гипотенузе, равна \(h = 24\) см.

Ключевыми шагами в решении были:
1. Запись уравнения, связывающего гипотенузу и катеты прямоугольного треугольника.
2. Решение этого уравнения для нахождения меньшего катета \(x\).
3. Вычисление высоты, проведённой к гипотенузе, по формуле.