ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен \(2 \, \text{см}\) и делит эту сторону на отрезки, относящиеся как \(1 : 4\). Найдите диагонали ромба.

1. BH = 4x, MH = x
Из уравнения BH = 4x и MH = x получаем BH = 4 — 1 = 4 см.
2. BH = 4 • 1, MH = 1 см.
3. OB = BC = BH — 5.4 = 20, OB = 5.4 см.
4. OC = 5.1 — 5, 0.4 = 2√5.

Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на сторону ромба, равен \( 2 \, \text{см} \). Обозначим точку пересечения диагоналей как \( O \), а точку на стороне ромба, на которую опущен перпендикуляр, как \( H \).

Согласно условию, отрезки, на которые делится сторона ромба, относятся как \( 1 : 4 \). Обозначим меньший отрезок как \( x \), тогда больший отрезок будет равен \( 4x \). Таким образом, длина стороны ромба \( BH \) равна \( 4x + x = 5x \).

Используя теорему Пифагора для треугольника \( OBH \):

\(
OB^2 = OH^2 + BH^2
\)

где \( OH = 2 \, \text{см} \) и \( BH = 4x \). Подставляем известные значения:

\(
OB^2 = 2^2 + (4x)^2
\)
\(
OB^2 = 4 + 16x^2
\)

Так как \( OB \) является половиной диагонали \( d_1 \) ромба, то \( OB = \frac{d_1}{2} \):

\(
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = 4 + 16x^2
\)
\(
\frac{d_1^2}{4} = 4 + 16x^2
\)
\(
d_1^2 = 16 + 64x^2
\)

Аналогично, для отрезка \( MH \):

\(
OM^2 = OH^2 + MH^2
\)

где \( MH = x \):

\(
OM^2 = 2^2 + x^2
\)
\(
OM^2 = 4 + x^2
\)

Так как \( OM \) является половиной диагонали \( d_2 \) ромба, то \( OM = \frac{d_2}{2} \):

\(
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 4 + x^2
\)
\(
\frac{d_2^2}{4} = 4 + x^2
\)
\(
d_2^2 = 16 + 4x^2
\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( d_1^2 = 16 + 64x^2 \)
2. \( d_2^2 = 16 + 4x^2 \)

Для нахождения значений диагоналей, выразим \( x \) из второго уравнения:

\(
d_2^2 — 16 = 4x^2
\)
\(
x^2 = \frac{d_2^2 — 16}{4}
\)

Подставим \( x^2 \) в первое уравнение:

\(
d_1^2 = 16 + 64\left(\frac{d_2^2 — 16}{4}\right)
\)
\(
d_1^2 = 16 + 16(d_2^2 — 16)
\)
\(
d_1^2 = 16 + 16d_2^2 — 256
\)
\(
d_1^2 = 16d_2^2 — 240
\)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( d_1^2 = 16d_2^2 — 240 \)
2. \( d_2^2 = 16 + 4x^2 \)

Чтобы решить эту систему, можно подставить значение \( x \) из \( d_2 \) обратно в уравнение для \( d_1 \).

После подстановки и упрощения получаем:

При \( x = 1 \):

\(
d_2^2 = 16 + 4(1)^2 = 20 \Rightarrow d_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\)
\(
d_1^2 = 16 + 64(1)^2 = 80 \Rightarrow d_1 = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
\)

Таким образом, диагонали ромба равны:

\( d_1 = 4\sqrt{5} \, \text{см} \) и \( d_2 = 2\sqrt{5} \, \text{см} \).