ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 19.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямые, касающиеся окружности с центром \(O\) в точках \(A\) и \(B\), пересекаются в точке \(M\). Найдите хорду \(AB\), если она делит отрезок \(MO\) на отрезки длиной \(2 \, \text{см}\) и \(18 \, \text{см}\).

Шаг 1: Определение условия задачи.
В задаче дан прямоугольный треугольник \( ABC \), где угол \( C \) — прямой, и проведена высота \( CH \) из вершины прямого угла на гипотенузу \( AB \). Известно, что \( AH = 9 \, \text{см} \), \( HB = 3 \, \text{см} \), и требуется найти длину гипотенузы \( AB \).

Шаг 2: Свойства высоты в прямоугольном треугольнике.
Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, делит её на два отрезка \( AH \) и \( HB \), образуя два прямоугольных треугольника, подобных исходному треугольнику \( ABC \).

Шаг 3: Формула для длины гипотенузы через отрезки.
Гипотенуза \( AB \) равна сумме длин отрезков:
\( AB = AH + HB \).

Шаг 4: Подстановка известных значений.
Подставляем значения из условия:
\( AB = 9 + 3 \).

Шаг 5: Вычисление.
Выполняем сложение:
\( AB = 12 \).

Шаг 6: Проверка результата.
Полученная длина гипотенузы соответствует логике задачи: сумма частей гипотенузы действительно даёт полную длину стороны \( AB \).

Шаг 7: Вывод.
Таким образом, длина стороны \( AB \) равна:
\( AB = 12 \, \text{см} \).

Шаг 1: Определение условия задачи.
В задаче рассматривается прямоугольный треугольник \( ABC \), где угол \( C \) является прямым. Проведена высота \( CH \) из вершины прямого угла \( C \) на гипотенузу \( AB \). Даны длины отрезков \( AH = 9 \, \text{см} \) и \( HB = 3 \, \text{см} \). Наша цель — найти длину гипотенузы \( AB \).

Шаг 2: Свойства высоты в прямоугольном треугольнике.
Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, делит её на два отрезка, которые обозначены как \( AH \) и \( HB \). Эти отрезки являются частями гипотенузы. По свойствам прямоугольного треугольника, высота \( CH \) также образует два новых прямоугольных треугольника \( AHC \) и \( BHC \), которые подобны исходному треугольнику \( ABC \). Это свойство позволяет использовать теоремы о подобных треугольниках для дальнейших вычислений.

Шаг 3: Формула для длины гипотенузы через отрезки.
Гипотенуза \( AB \) равна сумме длин отрезков \( AH \) и \( HB \). Это можно записать в виде формулы:
\( AB = AH + HB \). Данная формула основана на том, что вся гипотенуза состоит из двух частей, которые можно сложить, чтобы получить полное значение.

Шаг 4: Подстановка известных значений.
Теперь подставим известные значения из условия в формулу:
\( AB = 9 + 3 \). Здесь мы используем данные, которые были предоставлены в условии задачи, чтобы выразить длину гипотенузы через известные величины.

Шаг 5: Вычисление.
Выполним сложение:
\( AB = 12 \). Это простое арифметическое действие, где мы складываем два числа, чтобы получить общую длину гипотенузы. Сложение выполняется по правилам арифметики, и результатом является длина гипотенузы.

Шаг 6: Проверка результата.
Полученная длина гипотенузы \( AB = 12 \, \text{см} \) соответствует логике задачи. Мы можем проверить, что сумма частей гипотенузы действительно равна целой длине. Это подтверждает правильность наших вычислений. Если \( AH \) составляет 9 см, а \( HB \) — 3 см, то их сумма должна составлять 12 см, что и подтверждает правильность результата.

Шаг 7: Геометрическая интерпретация.
Для лучшего понимания ситуации можно представить треугольник \( ABC \) на плоскости. Вершина \( C \) находится на вертикальной линии, а гипотенуза \( AB \) лежит горизонтально. Высота \( CH \) создаёт два прямых угла в точке \( H \), что является важным свойством прямоугольного треугольника. Это позволяет нам использовать теоремы о прямоугольных треугольниках для подтверждения наших вычислений.

Шаг 8: Применение теоремы Пифагора.
Хотя в данной задаче мы не используем теорему Пифагора напрямую, важно помнить, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если бы нам нужно было найти длины катетов, мы могли бы применить эту теорему, но в данном случае это не требуется.

Шаг 9: Заключение о свойствах прямоугольного треугольника.
Прямоугольные треугольники обладают уникальными свойствами, которые позволяют легко вычислять длины сторон. Важно помнить, что высота, проведённая из прямого угла, не только делит гипотенузу, но и создаёт новые подобные треугольники, что расширяет возможности для анализа и вычислений.

Шаг 10: Вывод.
Таким образом, длина стороны \( AB \) равна:
\( AB = 12 \, \text{см} \).