ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 2.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М. Определите величину угла М треугольника АВМ.

1. Из условия задачи известно, что биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М.
2. Так как ABCD — параллелограмм, то углы LA и ZB являются смежными, и их сумма равна \( 180^\circ \).
3. Углы на биссектрисах равны между собой. Обозначим угол, который образуют биссектрисы в точке М, как ДАМВ. Так как угол LAMB является углом между двумя биссектрисами, то он равен \( 90^\circ \), так как биссектрисы углов А и В разделяют угол на две равные части.
4. Таким образом, угол ZAMB = \( 90^\circ \).
5. В треугольнике АВМ угол М — это угол, который образуют биссектрисы. Следовательно, угол _M = \( 90^\circ \).

Ответ: ZM = \( 90^\circ \).

1. Из условия задачи известно, что биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М. Это означает, что из вершин А и В проведены линии, которые делят соответствующие углы пополам, и эти линии встречаются в точке М, расположенной внутри или вне параллелограмма, в зависимости от его формы. Наша цель — определить величину угла М в треугольнике АВМ, то есть угол между сторонами АМ и ВМ в вершине М.

2. Так как ABCD является параллелограммом, необходимо вспомнить его свойства. В параллелограмме противоположные углы равны, а смежные углы (например, угол при вершине А и угол при вершине В) являются дополнительными, то есть их сумма равна \( 180^\circ \). Таким образом, если угол при вершине А равен \( \alpha \), то угол при вершине В равен \( 180^\circ — \alpha \). Это свойство будет ключевым для дальнейших вычислений.

3. Биссектрисы углов А и В делят эти углы на две равные части. Это означает, что биссектриса угла А разделяет его на два угла, каждый из которых равен \( \frac{\alpha}{2} \), а биссектриса угла В разделяет его на два угла, каждый из которых равен \( \frac{180^\circ — \alpha}{2} \). Теперь рассмотрим точку М, где пересекаются эти биссектрисы. В точке М образуется угол между биссектрисами, который мы обозначим как угол АМВ. Нам нужно понять, чему равен этот угол, и как он связан с углами параллелограмма.

4. Чтобы найти угол АМВ, рассмотрим четырехугольник, который образуется при пересечении биссектрис. Однако более простым подходом будет анализ свойств биссектрис в параллелограмме. Заметим, что биссектрисы смежных углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом. Это связано с тем, что сумма смежных углов равна \( 180^\circ \), и биссектрисы делят их на части таким образом, что половина угла А плюс половина угла В составляют \( \frac{\alpha}{2} + \frac{180^\circ — \alpha}{2} = \frac{\alpha + 180^\circ — \alpha}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \). Таким образом, угол между биссектрисами в точке М, то есть угол АМВ, равен \( 90^\circ \).

5. Теперь перейдем к треугольнику АВМ. Этот треугольник образован вершинами А, В и М, где М — точка пересечения биссектрис. В этом треугольнике нас интересует угол при вершине М, то есть угол между сторонами АМ и ВМ. Этот угол и есть угол АМВ, который, как мы определили ранее, равен \( 90^\circ \). Следовательно, угол М в треугольнике АВМ равен \( 90^\circ \).

Ответ: ZM = \( 90^\circ \).