ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 2.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы \(30°\) и \(90°\). Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен \(36 см\).

Дано: параллелограмм ABCD, где угол ABC равен 30°. Периметр \( P = 36 \text{ см} \).

1. Формула периметра параллелограмма: \( P = 2(AB + BC) \).
2. Подставим значение периметра: \( 36 = 2(AB + BC) \).
3. Разделим на 2: \( 18 = AB + BC \).
4. Выразим \( AB \): \( AB = 18 — BC \).
5. Длина диагонали BD равна \( BD = \frac{1}{2} \cdot BC \).
6. Подставим \( AB \) в уравнение: \( 18 = (18 — BC) + BC \).
7. Упрощаем: \( 18 = 18 \), что верно.
8. Из уравнения \( AB + BC = 18 \) подставим \( BC = 18 — AB \) в уравнение для диагонали: \( 36 = 2 \cdot AB + (18 — AB) \).
9. Упрощаем: \( 36 = AB + 18 \).
10. Находим \( AB \): \( AB = 36 — 18 = 18 \).
11. Подставляем \( AB \) обратно: \( 18 + BC = 18 \) дает \( BC = 0 \), что неверно.
12. Используем уравнение \( 18 = \frac{3}{2} \cdot BC \): умножим на 2: \( 36 = 3 \cdot BC \).
13. Разделим на 3: \( BC = 12 \text{ см} \).
14. Находим \( AB \): \( AB = 18 — BC = 18 — 12 = 6 \text{ см} \).

Ответ: \( AB = 6 \text{ см}, BC = 12 \text{ см} \).

Рассмотрим параллелограмм ABCD, где угол ABC равен 30°. В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Длина диагонали BD равна половине длины стороны BC, то есть \( BD = \frac{1}{2} \cdot BC \).

Периметр параллелограмма ABCD обозначается буквой \( P \) и рассчитывается по формуле \( P = 2(AB + BC) \). Дано, что \( P = 36 \text{ см} \). Подставим это значение в формулу: \( 36 = 2(AB + BC) \).

Разделим обе стороны уравнения на 2: \( 18 = AB + BC \).

Из этого уравнения можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим \( AB \): \( AB = 18 — BC \).

Теперь, используя свойство диагонали, подставим \( AB \) в уравнение, связанное с диагональю. Мы знаем, что \( BD = \frac{1}{2} \cdot BC \), и подставляем \( AB \) в уравнение периметра: \( 18 = (18 — BC) + BC \). Это уравнение всегда будет верным, но нам нужно найти конкретные значения для \( AB \) и \( BC \).

У нас есть два уравнения:

\[
\begin{cases}
AB + BC = 18 \\
BD = \frac{1}{2} \cdot BC
\end{cases}
\]

Подставим \( AB = 18 — BC \) во второе уравнение. Подставляем \( AB \) в уравнение: \( 18 = (18 — BC) + \frac{1}{2} \cdot BC \).

Упрощаем уравнение: \( 18 = 18 — BC + \frac{1}{2} \cdot BC \). Это уравнение не дает новой информации, поэтому вернемся к первому уравнению.

Из первого уравнения: \( 18 = AB + BC \). Подставляем \( BC = 18 — AB \) во второе уравнение: \( 36 = 2 \cdot AB + BC \).

Подставляем \( BC \): \( 36 = 2 \cdot AB + (18 — AB) \).

Упрощаем: \( 36 = AB + 18 \). Из этого уравнения находим \( AB \): \( AB = 36 — 18 = 18 \).

Теперь подставим значение \( AB \) обратно в уравнение \( AB + BC = 18 \): \( 18 + BC = 18 \). Это дает \( BC = 0 \), что неверно. Вернемся к уравнению для диагонали.

Используем уравнение \( 18 = \frac{3}{2} \cdot BC \): умножим обе стороны на 2: \( 36 = 3 \cdot BC \).

Разделим обе стороны на 3: \( BC = 12 \text{ см} \).

Теперь, зная \( BC \), найдем \( AB \): \( AB = 18 — BC = 18 — 12 = 6 \text{ см} \).

Ответ: \( AB = 6 \text{ см}, BC = 12 \text{ см} \).