ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 2.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через вершины A, B и D параллелограмма ABCD проведены прямые, перпендикулярные прямым BD, BC и CD соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.

Пусть M — точка пересечения прямых BD и BC, а К — точка пересечения прямых ВС и CD. Нужно доказать, что М = К.

Для этого используем принцип аналогичных треугольников. Заметим, что угол \(ZВМС\) и угол \(ZВКС\) равны, так как оба являются вертикальными углами. Также, отрезки ВМ и ВК являются высотами параллелограмма, и по теореме о высотах, все эти прямые пересекаются в одной точке.

1. Начнем с того, что рассмотрим треугольники ДВМС и ДВКС.
2. Из свойств параллелограмма мы знаем, что углы, образующиеся между параллельными прямыми, равны. В данном случае углы \(ZВМС\) и \(ZВКС\) равны.
3. Дальше, используя свойство перпендикулярных прямых, мы видим, что ВМ и ВК — высоты параллелограмма, то есть они являются перпендикулярными к противоположным сторонам.
4. С учетом того, что высоты параллелограмма пересекаются в одной точке, заключаем, что все три прямые BD, BC и CD пересекаются в одной точке.

Следовательно, прямые пересекаются в одной точке М = К.

Таким образом, доказано, что проведенные прямые пересекаются в одной точке.