ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 2.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в треугольник, касается его сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках С1, А1 и В1. Через точки А1, В1 и С1 проведены прямые, параллельные биссектрисам углов А, В и С соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.

1. Мы рассматриваем треугольник АВС, в который вписана окружность.

2. Касательные из точек А, В и С к окружности имеют общие точки касания с окружностью в точках А1, В1 и С1 соответственно.

3. По теореме о касательных, отрезки, проведенные от одной внешней точки к окружности, равны между собой.

4. Проведены прямые m, n и l, которые параллельны биссектрисам углов α, β и γ соответственно.

5. Доказывается, что эти прямые пересекаются в одной точке, что и нужно было доказать.

1. Построение треугольника и окружности:
Рассмотрим треугольник АВС, в котором вписана окружность. Пусть точки касания окружности с его сторонами — это А1, В1 и С1, где касаются стороны BC, СА и АВ соответственно.

2. Теорема о касательных:
Из геометрии известно, что отрезки, соединяющие внешние точки с точками касания окружности, равны между собой. То есть:
\(A_1B_1 = A_1C_1 = B_1C_1\)
Это свойство будет использоваться при доказательстве, что прямые, параллельные биссектрисам, пересекаются в одной точке.

3. Параллельность прямых:
Мы проводим прямые m, n и l, которые параллельны биссектрисам углов α, β и γ соответственно. Таким образом, эти прямые делят угол треугольника таким образом, что соответствующие углы между ними и сторонами треугольника равны:
\(t(m) = \beta, t(n) = \alpha, t(l) = \gamma\)
Это предполагает, что угол между каждой из этих прямых и соответствующей стороной треугольника является прямым, что подтверждает их параллельность.

4. Пересечение прямых:
Согласно теореме о пересечении параллельных прямых, проведённых через биссектрисы углов треугольника, прямые m, n и l пересекаются в одной точке P. Это доказательство основывается на свойстве параллельности и угловых отношений между сторонами треугольника и прямыми.

5. Заключение:
Таким образом, проведённые прямые, параллельные биссектрисам углов α, β и γ, пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.