ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 2.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через каждую вершину параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину (рис. 2.10). Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.

1. Пусть дан параллелограмм, через каждую его вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину.

2. Рассмотрим диагонали параллелограмма. Пусть они пересекаются в точке, обозначенной как О.

3. Мы знаем, что углы между двумя прямыми, пересекающимися в точке О, равны \(90°\).

4. В таком случае, используя теорему о перпендикулярности диагоналей и перпендикулярных прямых к ним, можно заключить, что диагонали параллелограмма перпендикулярны его сторонам.

1. Пусть в параллелограмме через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину (см. рисунок). Необходимо доказать, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечением этих прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.

2. Для доказательства рассмотрим параллелограмм ABCD, где А, В, С и D — его вершины, а АС и BD — диагонали параллелограмма.

3. Пусть через каждую вершину параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали АС. Обозначим точки пересечения этих прямых с диагональю АС как M, N, P и Q соответственно для вершин A, B, C и D.

4. Параллелограмм можно разделить на два треугольника: ДАВС и ACDA.

5. В обоих треугольниках проведены высоты, перпендикулярные к диагонали АС. Обозначим эти высоты как \(h_1\), \(h_2\) и т. д.

6. Параллельность сторон и свойство перпендикулярности диагоналей позволяют сделать вывод, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями этих прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.

Таким образом, доказано, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями перпендикулярных прямых к диагоналям параллелограмма, перпендикулярны его сторонам.