ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Катет прямоугольного треугольника равен \(6 \, \text{см}\), а медиана, проведённая к нему, — \(5 \, \text{см}\). Найдите гипотенузу треугольника.
В прямоугольном треугольнике АВС (прямой угол при А) катет АС = 6, медиана ВМ к АС даёт АМ = 3. В прямоугольном треугольнике АВМ по теореме Пифагора АВ=\(\sqrt{ВМ^2 — АМ^2}\)=\(\sqrt{25 -9}\)=4. Тогда гипотенуза BC = \(\sqrt{AB^2 + AC^2}\) = \(\sqrt{4^2 + 6^2}\) = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при A, где катет AC = 6 см, и пусть M — середина катета AC. По условию медиана BM к катету AC равна 5 см.
2. В треугольнике ABM угол при вершине A прямой, а AM = 4C = 3 см по свойству середины отрезка.
3. По теореме Пифагора для треугольника ABM имеем BM^2 = AB^2 + AM^2.
4. Подставляем известные числа: 5^2 = AB^2 + 3^2, откуда 25 = AB^2 +9 и AB^2 = 16, значит AB = 4 см.
5. В исходном треугольнике ABC снова применяем теорему Пифагора: BC = \(AB^2 + AC^2\) = \(\sqrt{16 + 36}\) = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\) см.
6. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при A катет AC = 6 см, а медиана из вершины B к середине катета AC равна BM = 5 см.
7. Точка M — середина отрезка AC, значит AM = MC = 3 см. В треугольнике ABM угол при A прямой (по условию), поэтому это прямоугольный треугольник.
8. По теореме Пифагора в ABM записываем BM^2 = AB^2 + AM^2. Подставляем BM = 5 см и AM = 3 см: 25 =AB^2 +9.
9. Решаем: AB^2 = 25 — 9 = 16, значит AB = 4 см. Это второй катет нашего треугольника.
10. В треугольнике ABC гипотенуза BC находится по теореме Пифагора: BC = \(\sqrt{AB^2 + AC^2}\) = \(\sqrt{16 + 36}\) = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\) см.
