ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

 В треугольнике \(ABC\) \(AB = 17 \, \text{см}\), \(BC = 9 \, \text{см}\), угол \(C\) тупой, высота \(AD\) равна \(8 \, \text{см}\). Найдите сторону \(AC\).

Вычислим АС через площадь треугольника.
Площадь по основанию ВС и высоте AD:
S = \(
\frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36 c^2
\)
Пусть АС = x. По теореме Герона:
\(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 9 + x}{2}\)
\(S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = 36\)
При подстановке получим уравнение
\(x^2 — 740x + 64000 = 0\),
решения которого \(x = 100\) или \(x = 640\). Поэтому
\(x = 10\) или \(x = 8\sqrt{10}\).
Поскольку угол С тупой, должно выполняться
\(AB^2 > BC^2 + AC^2 \Rightarrow 17^2 > 9^2 + x^2\),
откуда \(x = 10\).
Итак, АС = 10 см.

1. Вычисляем площадь треугольника по основанию ВС и высоте AD: \(S = \frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36 \text{см}^2\)
2. Обозначаем искомую сторону через x, то есть АС = x
3. Полупериметр \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 9 + x}{2}\)
4. По формуле Герона имеем \(S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}\), приравниваем к 36: \(36 = \sqrt{\frac{(26 + x)}{2} \cdot \frac{26 — 17}{2} \cdot \frac{26 + 3 — 9}{2} \cdot \frac{26 + x — 2}{2}}\)
5. Упрощаем каждое слагаемое: \(p-AB = \frac{26 + x — 17}{2} = \frac{8 + x}{2}\), \(p-BC = \frac{26 + 3 — 9}{2} = \frac{20}{2} = 10\), \(p-AC = \frac{26 + x — x}{2} = \frac{26}{2} = 13\)
6. Подкоренное выражение: \(\frac{(26 + x)(26 — 8)(10)(13)}{16} = \frac{(676 — x^2)(2)(10)(13)}{16}\)
7. Квадрат обеих частей: \(36^2 = \frac{(676 — x^2)(x^2 — 64)}{16}\), то есть \(1296 — 16 = (676 — x^2)(x^2 — 64)\)
8. Раскрываем произведение и приводим к многочлену: \((676 — x^2)(x^2 — 64) = 676x^2 — 43264 — x^2 + 64x^2 = 740x^2 — 43264\), значит \(20736 = 740x^2 — 43264\) и \(-x^2 + 740x^2 — 64000 = 0\) или \(x^2 — 740x + 64000 = 0\)
9. Решаем квадратное уравнение относительно \(y = x^2\): \(y^2 — 740y + 64000 = 0\), дискриминант \(D = 740^2 — 4 \cdot 64000 = 291600\), корни \(y_1 = \frac{740 + \sqrt{291600}}{2} = 640\), \(y_2 = \frac{740 — \sqrt{291600}}{2} = 100\)
10. Возвращаемся к x: \(x = \sqrt{100} = 10\) или \(x = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}\)
11. Учитываем, что угол С тупой, значит по теореме косинусов \(BC^2 + AC^2 < AB^2\), то есть \(9^2 + x^2 < 17^2\), откуда \(x < \sqrt{208}\), поэтому \(x = 10\)
12. Ответ: АС = 10 см