ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной \(a\).

1. в равностороннем треугольнике АВ = ВС = СА = a
2. опускаем высоту AD на ВС, тогда D — середина, BD = \(\frac{a}{2}\)
3. в прямоугольном треугольнике ABD по Пифагору \(AD^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\)
4. значит \(AD^2 = a^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}\)
5. берём корень, получается \(AD = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\)

1. в равностороннем треугольнике АВС все стороны равны, поэтому АВ = ВС = СА = a
2. проводим из вершины А перпендикуляр AD к стороне ВС, точка D лежит на ВС
3. в равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит точка D — середина ВС, следовательно BD = DC = \(\frac{a}{2}\)
4. в прямоугольном треугольнике ABD угол при D равен 90°, стороны: гипотенуза АВ = q, катеты AD и BD= \(\frac{a}{2}\)
5. по теореме Пифагора в треугольнике ABD выполняется \(AB^2 = AD^2 + BD^2\)
6. подставляем известные величины: \(q^2 = AD^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\)
7. расписываем квадрат катета: \(AD^2 = q^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2\)
8. вычитаем из обеих частей уравнения \(\frac{a^2}{4}\), получаем \(AD^2 = q^2 — \frac{a^2}{4}\)
9. приводим к общему знаменателю: \(q^2 — \frac{a^2}{4} = \frac{4q^2 — a^2}{4}\)
10. берём положительный квадратный корень: \(AD = \sqrt{\frac{4q^2 — a^2}{4}}\)
11. выделяем множитель a под знаком корня: \(\sqrt{\frac{4a^2 — a^2}{4}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\), значит \(AD = \frac{a}{\sqrt{3}}\)
12. обозначая высоту треугольника через h, получаем окончательно \(h = \frac{a}{\sqrt{3}}\)