ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите диагональ квадрата со стороной \(a\).

1. в прямоугольном треугольнике АВС, где АВ=ВС=а, по теореме Пифагора \(AC^2 = a^2 + a^2\)
2. значит \(AC^2 = 20^2\), берём корень, получаем \(AC = \sqrt{2}a\)

1. в квадрате ABCD все стороны равны, поэтому \(AB = BC = CD = DA = a\)
2. диагональ АС соединяет вершины А и С, деля квадрат на два равных прямоугольных треугольника АВС и ADC
3. в треугольнике АВС угол при В равен 90°
4. катеты этого треугольника — стороны АВ и ВС, то есть величины и и Q.
5. гипотенуза этого треугольника — диагональ АС, обозначим её через \(d\)
6. по теореме Пифагора \(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
7. подставляем известные величины: \(a^2 + a^2 = d^2\)
8. складываем два одинаковых слагаемых: \(2a^2 = d^2\)
9. чтобы найти \(d\), берём положительный квадратный корень: \(d=\sqrt{2}a\)
10. под корнем произведение \(2a^2\) распадается на корень из 2 и корень из \(a^2\): \(\sqrt{2a^2} =\sqrt{2}\cdot a\)
11. корень из квадрата \(\sqrt{a^2}\) равен абсолютному значению \(a\), но так как сторона положительна, берём \(a\)
12. получаем \(d=\sqrt{2}a\)
13. таким образом диагональ квадрата равна \(\sqrt{2}a\)
14. можно проверить: если \(a = 1\), то \(d = \sqrt{2}\), что соответствует длине диагонали единичного квадрата
15. если \(a = 2\), то \(d = 2\sqrt{2}\), что также согласуется с многократным масштабированием
16. окончательный ответ: \(AC = \sqrt{2}a\)