ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой стороне, равна \(8 \, \text{см}\). Она делит боковую сторону на два отрезка, один из которых, прилежащий к вершине равнобедренного треугольника, равен \(6 \, \text{см}\). Найдите основание треугольника.

Дано: BD = 8 см, AD = 6 см.
Найти: AB, AC, BC.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора: \(AB^2 = AD^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), откуда AB = \(\sqrt{100} = 10\) см.
2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = AB = 10 см.
3. В прямоугольном треугольнике BDC по теореме Пифагора: \(BC^2 = BD^2 + DC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\), откуда BC = \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) см.

Во-первых, зафиксируем обозначения: рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB = AC и основанием BC. Пусть из вершины B опущена высота BD на боковую сторону AC, точка D лежит на AC.

По условию BD = 8 см и AD = 6 см. Поскольку BD ⊥ AC, треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом при D.

В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора \(AB^2 = AD^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), откуда AB = \(\sqrt{100} = 10\) см.

Из равенства боковых сторон AB = AC получаем AC = 10 см. Тогда оставшийся отрезок DC = AC — AD = 10 — 6 = 4 см.

Далее в треугольнике BDC с прямым углом при D снова применяем теорему Пифагора: \(BC^2 = BD^2 + DC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\), откуда BC = \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) см.