ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из точки к прямой проведены две наклонные длиной \(15 \, \text{см}\) и \(27 \, \text{см}\). Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна \(24 \, \text{см}\). Найдите проекцию каждой наклонной.

1. Для первой наклонной:
\(15^2 = 1^2 + h^2\)

2. Для второй наклонной:
\(27^2 = (24 — x)^2 + h^2\)

Теперь решим систему уравнений:
1. \(225 = 1^2 + h^2\)
2. \(729 = (24 — x)^2 + 1^2\)

Вычтем из второго уравнения первое:
\(729 — 225 = (24 — x)^2 — 1^2\)
\(504 = (24 — x)^2 — 1^2\)

Раскроем скобки:
\(504 = (576 — 48x + x^2) — 1^2\)
\(504 = 576 — 48x\)

Решаем для x:
\(48x = 576 — 504\)
\(48x = 72\)
\(x = \frac{72}{48} = 1.5\)

Теперь найдём вторую проекцию:
\(24 — x = 24 — 1.5 = 22.5\)

Ответ: проекция первой наклонной = 1.5 см, проекция второй наклонной 24 — x = 22.5 см.

Хорошо, вот более подробное решение с разъяснениями:

Дано:
— Две наклонные линии длиной 15 см и 27 см
— Сумма проекций этих наклонных на прямую равна 24 см

Обозначим:
— Проекцию наклонной длиной 15 см как x
— Проекцию наклонной длиной 27 см как 24 — x

Согласно теореме Пифагора, для каждой наклонной выполняется следующее равенство:

1. Для первой наклонной длиной 15 см:
\(15^2 = x^2 + h^2\)
Где \(h\) — высота треугольника, образованного наклонной и её проекцией.
Это уравнение описывает, что квадрат длины наклонной равен сумме квадратов длины проекции и высоты треугольника.

2. Для второй наклонной длиной 27 см:
\(27^2 = (24 — x)^2 + h^2\)
Аналогично, квадрат длины второй наклонной равен сумме квадратов длины её проекции и высоты треугольника.

Теперь решим систему уравнений:

1. \(225 = x^2 + h^2\)
2. \(729 = (24 — x)^2 + h^2\)

Вычитая первое уравнение из второго:
\(729 — 225 = (24 — x)^2 — x^2\)
\(504 = (24 — x)^2 — x^2\)

Раскрывая скобки:
\(504 = (576 — 48x + x^2) — x^2\)
\(504 = 576 — 48x\)

Решая для \(x\):
\(48x = 576 — 504\)
\(48x = 72\)
\(x = \frac{72}{48} = 1.5\)

Таким образом, проекция первой наклонной равна 1.5 см.

Теперь найдём вторую проекцию:
\(24 — x = 24 — 1.5 = 22.5\)

Ответ:
Проекция первой наклонной = 1.5 см
Проекция второй наклонной = 22.5 см