ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан отрезок длины \(1\). Постройте отрезок, равный: 1) \(\sqrt{3}\); 2) \(\sqrt{6}\).

1) Построение отрезка длины \(\sqrt{3}\):

1. Начертите отрезок \(AB\) длиной \(1\).
2. На точке \(B\) постройте перпендикуляр \(BC\) длиной \(1\).
3. Соедините точки \(A\) и \(C\).
4. Длина отрезка \(AC\) равна \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
5. Найдите точку \(D\) на отрезке \(AC\) так, чтобы \(AD = \sqrt{3}\): \(AD = \sqrt{AC^2 — BC^2} = \sqrt{2^2 — 1^2} = \sqrt{3}\).

2) Построение отрезка длины \(\sqrt{6}\):

1. Начертите отрезок \(AB\) длиной \(1\).
2. На точке \(B\) постройте перпендикуляр \(BC\) длиной \(\sqrt{5}\).
3. Соедините точки \(A\) и \(C\).
4. Длина отрезка \(AC\) равна \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{6}\).

1) Построение отрезка длины \(\sqrt{3}\):

1. Начертите отрезок \(AB\) длиной \(1\). Для этого используйте линейку, чтобы точно отмерить и провести линию. Обозначьте концы отрезка как точки \(A\) и \(B\).

2. Теперь на точке \(B\) постройте перпендикуляр \(BC\) длиной \(1\). Для этого можно использовать угольник или циркуль. Поместите угольник так, чтобы одна его сторона совпадала с отрезком \(AB\), а другая шла вверх. Отметьте точку \(C\) на перпендикуляре, отмерив \(1\) единицу.

3. Теперь у нас есть треугольник \(ABC\), где \(AB = 1\) и \(BC = 1\). Это равнобедренный прямоугольный треугольник, так как угол \(ABC\) равен \(90^\circ\).

4. Применим теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае это означает:
\(
AC^2 = AB^2 + BC^2
\)
Подставим известные значения:
\(
AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2
\)
Следовательно, длина отрезка \(AC\) равна:
\(
AC = \sqrt{2}
\)

5. Теперь нам нужно получить отрезок, равный \(\sqrt{3}\). Для этого на отрезке \(AC\) отметьте точку \(D\) так, чтобы \(AD = \sqrt{3}\). Чтобы найти точку \(D\), мы можем воспользоваться свойством отрезков и провести линию от точки \(A\).

6. Для точности используйте циркуль. Установите один конец циркуля в точке \(A\) и отмерьте расстояние \(\sqrt{3}\). Это можно сделать, если вы уже построили отрезок \(\sqrt{3}\) ранее или знаете, как его построить.

7. После того как вы отметите точку \(D\) на отрезке \(AC\), проверьте, что длина \(AD\) действительно равна \(\sqrt{3}\).

2) Построение отрезка длины \(\sqrt{6}\):

1. Начертите отрезок \(AB\) длиной \(1\). Как и в первом случае, используйте линейку для точного измерения.

2. На точке \(B\) постройте перпендикуляр \(BC\) длиной \(\sqrt{5}\). Для этого сначала нужно построить отрезок \(\sqrt{5}\). Это можно сделать, используя уже известные длины. Например, постройте отрезок \(\sqrt{4}\) (длина \(2\)) и отложите от него \(1\):
— Начертите отрезок \(BE\) длиной \(2\).
— На точке \(E\) постройте перпендикуляр \(EF\) длиной \(1\) (это будет отрезок \(\sqrt{5}\)).
— Теперь \(BC = \sqrt{5}\).

3. Теперь у нас есть треугольник \(ABC\), где \(AB = 1\) и \(BC = \sqrt{5}\).

4. Применим теорему Пифагора:
\(
AC^2 = AB^2 + BC^2
\)
Подставим известные значения:
\(
AC^2 = 1^2 + (\sqrt{5})^2 = 1 + 5 = 6
\)
Следовательно, длина отрезка \(AC\) равна:
\(
AC = \sqrt{6}
\)

5. Теперь отрезок \(AC\) равен \(\sqrt{6}\). Убедитесь, что длина соответствует \(\sqrt{6}\), проверив его на чертеже.

Эти шаги позволяют вам построить отрезки \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{6}\) с использованием основных геометрических принципов и теоремы Пифагора.