ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Основания прямоугольной трапеции равны \(18 \, \text{см}\) и \(12 \, \text{см}\), а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

1. \( BD = AC \), \( CD = BC = 12 \, \text{см} \)
2. \( HD = 18 — 12 = 6 \, \text{см} \)
3. В \(\triangle CHD\):
\( CH = \sqrt{CD^2 — HD^2} = \sqrt{144 — 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \, \text{см} \)
4. В \(\triangle ABD\):
\( BD^2 = CH^2 + HD^2 \)
\( BD = \sqrt{108 + 324} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \, \text{см} \)

1. Диагонали \( BD \) и \( AC \) равны, так как диагональ \( BD \) является биссектрисой острого угла трапеции. Основания трапеции: \( AB = 18 \, \text{см} \), \( CD = 12 \, \text{см} \). Поскольку \( CD = BC \), то \( CD = BC = 12 \, \text{см} \).

2. Найдем длину отрезка \( HD \), который является разностью между большим основанием \( AB \) и меньшим основанием \( CD \):
\( HD = AB — CD = 18 — 12 = 6 \, \text{см} \).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CHD \), в котором \( CD \) является гипотенузой, а \( CH \) и \( HD \) — катетами. Используем теорему Пифагора:
\( CD^2 = CH^2 + HD^2 \).
Выразим \( CH^2 \):
\( CH^2 = CD^2 — HD^2 \).
Подставим известные значения:
\( CH^2 = 12^2 — 6^2 = 144 — 36 = 108 \).
Найдем \( CH \):
\( CH = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \, \text{см} \).

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABD \), в котором \( BD \) — гипотенуза, а \( CH \) и \( HD \) — катеты. Используем теорему Пифагора для нахождения \( BD \):
\( BD^2 = CH^2 + HD^2 \).
Подставим значения:
\( BD^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 = 108 + 36 = 144 \).
Найдем \( BD \):
\( BD = \sqrt{144} = 12\sqrt{3} \, \text{см} \).