ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной \(16 \, \text{см}\) и \(32 \, \text{см}\). Расстояние между хордами равно \(16 \, \text{см}\). Найдите радиус окружности.

В окружности с центром \( O \) проведены две параллельные хорды \( AB = 16 \) и \( CD = 32 \), расстояние между ними \( h = 16 \). Найти радиус \( R \).

1. Пусть расстояние от центра \( O \) до хорды \( AB \) равно \( x \), тогда расстояние до хорды \( CD \) будет \( 16 — x \).
2. Запишем уравнения для половин длин хорд:
\(
OB^2 = R^2 — x^2, \quad OD^2 = R^2 — (16 — x)^2
\)
где \( OB = \frac{AB}{2} = 8 \), \( OD = \frac{CD}{2} = 16 \).
3. Подставляем значения:
\(
R^2 — x^2 = 64, \quad R^2 — (16-x)^2 = 256
\)
4. Раскроем скобки и решим систему уравнений:
\(
R^2 — x^2 = 64, \quad R^2 — (256 — 32x + x^2) = 256
\)
\(
R^2 — x^2 = 64, \quad R^2 — 256 + 32x — x^2 = 256
\)
\(
32x = 448  x = 14
\)
5. Найдем \( R^2 \):
\(
R^2 = 64 + x^2 = 64 + 196 = 1088
\)
6. Радиус:
\(
R = \sqrt{1088} = 2\sqrt{272} = 2\sqrt{68} = 2\sqrt{65} \, (\text{см})
\)

Рассмотрим окружность с центром \( O \), радиусом \( R \) и двумя параллельными хордами \( AB \) и \( CD \). Длины хорд известны: \( AB = 16 \), \( CD = 32 \). Расстояние между хордами равно \( h = 16 \). Нужно найти радиус окружности \( R \).

1. Пусть расстояние от центра окружности \( O \) до хорды \( AB \) равно \( x \). Тогда расстояние от центра \( O \) до хорды \( CD \) будет равно \( 16 — x \), так как расстояние между хордами равно \( h = 16 \).

2. Вспомним формулу для нахождения расстояния от центра окружности до хорды. Если радиус окружности равен \( R \), а расстояние от центра до хорды равно \( d \), то половина длины хорды \( l \) определяется по формуле:
\( \left(\frac{l}{2}\right)^2 + d^2 = R^2 \).

3. Для хорды \( AB \) длиной \( 16 \) половина длины хорды равна \( \frac{AB}{2} = 8 \). Подставим в формулу:
\( 8^2 + x^2 = R^2 \),
или
\( R^2 = x^2 + 64 \).

4. Для хорды \( CD \) длиной \( 32 \) половина длины хорды равна \( \frac{CD}{2} = 16 \). Расстояние от центра \( O \) до хорды \( CD \) равно \( 16 — x \). Подставим в формулу:
\( 16^2 + (16 — x)^2 = R^2 \),
или
\( R^2 = (16 — x)^2 + 256 \).

5. У нас получилось два уравнения:
\( R^2 = x^2 + 64 \),
\( R^2 = (16 — x)^2 + 256 \).

6. Приравняем правые части уравнений:
\( x^2 + 64 = (16 — x)^2 + 256 \).

7. Раскроем скобки:
\( x^2 + 64 = 256 — 32x + x^2 + 256 \).

8. Упростим выражение:
\( x^2 + 64 = x^2 — 32x + 512 \).

9. Сократим \( x^2 \) и перенесем все члены в одну сторону:
\( 64 + 32x = 512 \).

10. Решим уравнение:
\( 32x = 448 \),
\( x = 14 \).

11. Найдем радиус \( R \), подставив \( x = 14 \) в первое уравнение:
\( R^2 = x^2 + 64 \),
\( R^2 = 14^2 + 64 \),
\( R^2 = 196 + 64 \),
\( R^2 = 260 \).

12. Следовательно, радиус окружности равен:
\( R = \sqrt{260} = 2\sqrt{65} \, \text{см} \).