ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен \(12 \, \text{см}\), а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности — \(20 \, \text{см}\). Найдите периметр данного треугольника.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle MBO \): \( MB = \sqrt{BO^2 — MO^2} = \sqrt{400 — 144} = 16 \, \text{см} \).

2. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольниках \( \triangle MBO \sim \triangle ABI \): \(\frac{EM}{MB} = \frac{AL}{AB} \), где \( EM = 12 \), \( MB = 16 \), \( AL = 3 \). Найдем \( AB \): \(\frac{12}{16} = \frac{3}{AB} \Rightarrow AB = \frac{12 \cdot 3}{16} = 24 \, \text{см}\).

3. Периметр \( P = AB + BC + CA = 16 + 16 + 24 + 24 + 24 + 24 = 128 \, \text{см} \).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle MBO \), где \( MO \) — высота, проведённая из вершины \( M \) на основание \( AB \). Известно, что \( BO = 20 \, \text{см} \), \( MO = 12 \, \text{см} \). По теореме Пифагора вычислим \( MB \):

\(
MB = \sqrt{BO^2 — MO^2} = \sqrt{20^2 — 12^2} = \sqrt{400 — 144} = \sqrt{256} = 16 \, \text{см}.
\)

2. Треугольники \( \triangle MBO \) и \( \triangle ABI \) подобны, так как они оба прямоугольные и имеют общий угол \( \angle B \). Следовательно, их стороны пропорциональны. Обозначим длину основания \( AB = x \). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

\(
\frac{EM}{MB} = \frac{AL}{AB}.
\)

Подставляем известные значения: \( EM = 12 \, \text{см}, MB = 16 \, \text{см}, AL = 3 \, \text{см} \). Получаем:

\(
\frac{12}{16} = \frac{3}{x}.
\)

Решим это уравнение для \( x \):

\(
x = \frac{12 \cdot 3}{16} = \frac{36}{16} = 24 \, \text{см}.
\)

Таким образом, \( AB = 24 \, \text{см} \).

3. Треугольник равнобедренный, следовательно, его боковые стороны равны. Боковые стороны равны \( MB + MB = 16 + 16 = 32 \, \text{см} \). Периметр треугольника равен:

\(
P = AB + BC + CA = 24 + 24 + 24 + 24 + 16 + 16 = 128 \, \text{см}.
\)