ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Катеты прямоугольного треугольника равны \(18 \, \text{см}\) и \(24 \, \text{см}\). Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.
1. \( AB = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = 30 \, \text{см} \).
2. \( \frac{AB}{BC} = \frac{30}{24} = \frac{x}{18 — x} \).
\( 24x = 540 — 30x \).
\( 54x = 540 \).
\( x = 10 \).
\( AB_1 = 10 \, \text{см}, \, B_1C = 8 \, \text{см} \).
3. \( BB_1^2 = CB_1^2 + AB_1^2 \).
\( BB_1 = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 8\sqrt{2} \, \text{см} \).
1. Рассчитаем длину гипотенузы \( AB \) прямоугольного треугольника с катетами \( AC = 18 \, \text{см} \) и \( BC = 24 \, \text{см} \), используя теорему Пифагора:
\(
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}.
\)
Подставим значения:
\(
AB = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \, \text{см}.
\)
2. Биссектриса \( BB_1 \), проведённая из вершины меньшего острого угла \( B \), делит противоположную сторону \( AC \) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам \( AB \) и \( BC \). Пусть \( AB_1 = x \), а \( B_1C = 18 — x \). Тогда по свойству биссектрисы:
\(
\frac{AB}{BC} = \frac{AB_1}{B_1C}.
\)
Подставим известные значения:
\(
\frac{30}{24} = \frac{x}{18 — x}.
\)
Упростим дроби:
\(
\frac{5}{4} = \frac{x}{18 — x}.
\)
Перемножим крест-накрест:
\(
5(18 — x) = 4x.
\)
Раскроем скобки:
\(
90 — 5x = 4x.
\)
Перенесём \( -5x \) в правую часть уравнения:
\(
90 = 9x.
\)
Найдём \( x \):
\(
x = \frac{90}{9} = 10.
\)
Таким образом, \( AB_1 = 10 \, \text{см} \), \( B_1C = 18 — 10 = 8 \, \text{см} \).
3. Теперь найдём длину биссектрисы \( BB_1 \), используя теорему Пифагора для треугольника \( BB_1C \). В этом треугольнике \( BB_1 \) — гипотенуза, а \( CB_1 \) и \( AB_1 \) — катеты. Формула:
\(
BB_1^2 = CB_1^2 + AB_1^2.
\)
Подставим значения:
\(
BB_1^2 = 8^2 + 10^2.
\)
Выполним возведение в квадрат:
\(
BB_1^2 = 64 + 100 = 164.
\)
Найдём \( BB_1 \):
\(
BB_1 = \sqrt{164} = 8\sqrt{2} \, \text{см}.
\)
