ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Медианы \(AM\) и \(CK\) треугольника \(ABC\) перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если \(AM = 9 \, \text{см}\) и \(CK = 12 \, \text{см}\).

1. \( AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \, \text{см} \), \( CO = \frac{2}{3}CK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \, \text{см} \).

2. \( \triangle AOC: AC^2 = AO^2 + CO^2 \), \( AC = \sqrt{36 + 64} = 10 \, \text{см} \).

3. \( \triangle BOC: BC^2 = BO^2 + CO^2 \), \( BO = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \, \text{см} \), \( BC = 2 \sqrt{73} \, \text{см} \).

4. \( \triangle ABK: AB^2 = AK^2 + BK^2 \), \( AK = \sqrt{36 + 16} = 2 \sqrt{13} \, \text{см} \), \( AB = 4 \sqrt{13} \, \text{см} \).

Дано: \(AM = 9 \, \text{см}\), \(CK = 12 \, \text{см}\). Необходимо найти стороны треугольника ABC.

Решение:
1. Найдем длину медианы \(AO\):
\(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \, \text{см}\)

2. Найдем длину медианы \(CO\):
\(CO = \frac{2}{3}CK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \, \text{см}\)

3. Найдем длину стороны \(AC\):
\(AC = \sqrt{AO^2 + CO^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \, \text{см}\)

4. Найдем длину стороны \(BC\):
\(MC = \sqrt{CO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145} \, \text{см}\)
\(BC = 2MC = 2\sqrt{145} \, \text{см}\)

5. Найдем длину стороны \(AB\):
\(AB = \sqrt{AO^2 + OK^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 4\sqrt{13} \, \text{см}\)