ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) медианы \(BM\) и \(CK\) перпендикулярны и пересекаются в точке \(O\). Найдите отрезок \(AO\), если \(BM = 36 \, \text{см}\) и \(CK = 15 \, \text{см}\).

1. \( BO : OM = 2 : 1 \Rightarrow BO = 24 \, \text{см}, \, OM = 12 \, \text{см} \).
2. \( CO : OK = 2 : 1 \Rightarrow CO = 10 \, \text{см}, \, OK = 5 \, \text{см} \).
3. В \(\triangle MOC\): \( BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = 26 \, \text{см} \).
4. \( AO : OD = 2 : 1 \Rightarrow AO = 2 \cdot OD = 26 \, \text{см} \).
Ответ: \( AO = 26 \, \text{см} \).

1. Рассмотрим медианы \( BM \) и \( CK \) треугольника \( ABC \), которые пересекаются в точке \( O \). Известно, что медианы делятся в отношении \( 2:1 \), считая от вершины треугольника. Даны длины медиан: \( BM = 36 \, \text{см} \) и \( CK = 15 \, \text{см} \).

2. Определим длины отрезков, на которые точка \( O \) делит медианы.
Для медианы \( BM \):
\( BO : OM = 2 : 1 \), значит:
\( BO = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3} \cdot 36 = 24 \, \text{см} \),
\( OM = \frac{1}{3} \cdot BM = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12 \, \text{см} \).

Для медианы \( CK \):
\( CO : OK = 2 : 1 \), значит:
\( CO = \frac{2}{3} \cdot CK = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \, \text{см} \),
\( OK = \frac{1}{3} \cdot CK = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 \, \text{см} \).

3. Теперь найдём длину стороны \( BC \) треугольника \( ABC \). Точка \( O \) делит медианы, и она является серединой отрезков, соединяющих вершины треугольника с противоположными сторонами. Для нахождения \( BC \) используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \( MOC \):
\( BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} \).
Подставляем значения:
\( BC = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 \, \text{см} \).

4. Теперь найдём длину отрезка \( AO \). Точка \( O \) делит медиану \( AD \) в отношении \( 2:1 \). С учётом того, что \( AD = BC = 26 \, \text{см} \), определяем:
\( AO : OD = 2 : 1 \), значит:
\( AO : OD = 2 : 1 \Rightarrow AO = 2 \cdot OD = 26 \, \text{см} \).

Ответ: \( AO = 26 \, \text{см} \).