ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для любой точки \(X\) окружности, описанной около прямоугольника \(ABCD\), сумма \(XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2\) является величиной постоянной.

\( XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2 = 4R^2 \), где \( R \) — радиус описанной окружности.

Доказательство того, что для любой точки \( X \) на окружности, описанной около прямоугольника \( ABCD \), сумма квадратов расстояний от \( X \) до вершин прямоугольника является постоянной величиной, можно провести следующим образом:

1. Рассмотрим прямоугольник \( ABCD \), вписанный в окружность. Пусть \( O \) — центр окружности, а \( R \) — её радиус.
2. Для любой точки \( X \) на окружности, описанной около прямоугольника, мы можем записать следующие выражения для расстояний от \( X \) до вершин прямоугольника:
— \( XA^2 = R^2 + r_A^2 — 2Rr_A \cos \alpha \)
— \( XB^2 = R^2 + r_B^2 — 2Rr_B \cos \beta \)
— \( XC^2 = R^2 + r_C^2 — 2Rr_C \cos \gamma \)
— \( XD^2 = R^2 + r_D^2 — 2Rr_D \cos \delta \)
где \( r_A, r_B, r_C, r_D \) — расстояния от центра окружности \( O \) до точек \( A, B, C, D \) соответственно, а \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) — углы между радиусами, проведёнными в точки \( A, B, C, D \) и радиусом, проведённым в точку \( X \).

3. Суммируем все выражения:
\(
XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2 = 4R^2 + (r_A^2 + r_B^2 + r_C^2 + r_D^2) — \)
\(-2R(r_A \cos \alpha + r_B \cos \beta + r_C \cos \gamma + r_D \cos \delta)
\)

4. Заметим, что сумма \( r_A \cos \alpha + r_B \cos \beta + r_C \cos \gamma + r_D \cos \delta \) равна нулю, так как векторы \( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD} \) симметричны относительно центра окружности.

5. Таким образом, остаётся:
\(
XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2 = 4R^2 + (r_A^2 + r_B^2 + r_C^2 + r_D^2)
\)

6. Поскольку \( r_A, r_B, r_C, r_D \) — это постоянные величины, зависящие только от размеров прямоугольника и радиуса окружности, сумма \( XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2 \) также является постоянной.

Таким образом, доказано, что сумма квадратов расстояний от любой точки на окружности до вершин прямоугольника является постоянной величиной.